Дано:
Отрезок [-1; 3].
Найти:
Вероятность того, что при случайном выборе двух чисел x и y из этого отрезка выполняются условия x + y > 1 и xy < 1.
Решение:
Чтобы рассчитать вероятность, нужно определить площадь области, где выполняются оба указанных условия, а затем разделить эту площадь на общую площадь отрезка [-1; 3].
Условие x + y > 1 можно переписать в виде y > 1 - x.
Условие xy < 1 означает, что произведение x и y должно быть меньше 1.
Область, где выполняются оба условия, будет представлять собой треугольник со сторонами, параллельными осям координат. Положение треугольника будет определяться неравенствами y > 1 - x и xy < 1.
Для построения этого треугольника найдем точки пересечения прямых y = 1 - x и xy = 1.
Точки пересечения будут являться корнями уравнения xy = 1.
xy = 1 пересекается с осью абсцисс (ось x) при x = 0 и с осью ординат (ось y) при y = 0.
Таким образом, треугольник будет иметь вершину (0, 1), вершину (-1, 2), и вершину (1, 0).
Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы для площади треугольника: площадь = (1/2) * (основание) * (высота).
Основание треугольника равно 2 - (-1) = 3, а высота равна 1 - 0 = 1.
Площадь треугольника = (1/2) * 3 * 1 = 3/2.
Теперь найдем общую площадь отрезка [-1; 3]:
Длина отрезка [-1; 3] = 3 - (-1) = 4.
Общая площадь отрезка = длина отрезка * высота прямоугольника = 4 * 1 = 4.
Итак, вероятность будет равна отношению площади области, где выполняются оба условия, к общей площади отрезка:
Вероятность = площадь треугольника / общая площадь отрезка = (3/2) / 4 = 3/8.
Ответ:
Вероятность того, что при случайном выборе двух чисел x и y из отрезка [-1; 3] выполняются условия x + y > 1 и xy < 1: 3/8.