Дано:
Количество студентов: 100,
Студенты, знающие английский язык: 50,
Студенты, знающие французский язык: 40,
Студенты, знающие немецкий язык: 35,
Студенты, знающие английский и французский языки: 20,
Студенты, знающие английский и немецкий языки: 8,
Студенты, знающие французский и немецкий языки: 10,
Студенты, знающие все три языка: 5.
Найти:
1) Пары независимых событий.
2) Являются ли события A, B, C независимыми в совокупности.
Решение:
1) Пары независимых событий можно найти по формуле:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
Проверим каждую пару:
P(A ∩ B) = 20/100 = 0.2
P(A) = 50/100 = 0.5
P(B) = 40/100 = 0.4
P(A ∩ B) = P(A) * P(B) => 0.2 = 0.5 * 0.4
P(A ∩ C) = P(A) * P(C)
P(A ∩ C) = 8/100 = 0.08
P(A) = 50/100 = 0.5
P(C) = 35/100 = 0.35
P(A ∩ C) = P(A) * P(C) => 0.08 = 0.5 * 0.35
P(B ∩ C) = P(B) * P(C)
P(B ∩ C) = 10/100 = 0.1
P(B) = 40/100 = 0.4
P(C) = 35/100 = 0.35
P(B ∩ C) = P(B) * P(C) => 0.1 = 0.4 * 0.35
Таким образом, пары независимых событий: (A, B), (A, C), (B, C).
2) События A, B, C будут являться независимыми в совокупности, если выполняется следующее условие:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) * P(B) * P(C)
P(A ∩ B ∩ C) = 5/100 = 0.05
P(A) = 50/100 = 0.5
P(B) = 40/100 = 0.4
P(C) = 35/100 = 0.35
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) * P(B) * P(C) => 0.05 = 0.5 * 0.4 * 0.35
Так как не выполняется условие, что вероятность пересечения всех трех событий равна произведению вероятностей каждого события, то события A, B, C не являются независимыми в совокупности.
Ответ:
1) Пары независимых событий: (A, B), (A, C), (B, C).
2) События A, B, C не являются независимыми в совокупности.