Question

Два стрелка бросают жребий, кому стрелять первым, после чего стреляют попеременно до первого попадания по мишени или пока не закончатся патроны. Вероятность попадания при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Запас патронов составляет 4 патрона на двоих. Случайная величина ξ – число израсходованных патронов.

Answer 1

Дано: p1 = 0,7 - вероятность попадания первым стрелком
      p2 = 0,8 - вероятность попадания вторым стрелком
      n = 4 - количество патронов

Найти: ξ - количество израсходованных патронов

Решение:
1. Вероятность того, что первым стрелком было сделано k выстрелов, а вторым - (k-1) выстрелов:
P(k) = p1*(1-p2)^(k-1)*p2

2. Так как выстрелы происходят попеременно, значение ξ – четное число.
Получаем, что ξ = 2k

3. Вероятность израсходовать 2k патронов:
P(ξ) = P(k) = p1*(1-p2)^(2k-1)*p2

4. Найдем вероятность P(ξ) для каждого k:

P(2) = p1*(1-p2)*p2 = 0,7*(1-0,8)*0,8 = 0,056
P(4) = p1*(1-p2)^3*p2 = 0,7*(1-0,8)^3*0,8 = 0,014

5. Найдем общую вероятность израсходовать 4 патрона:
P(ξ) = P(2) + P(4) = 0,056 + 0,014 = 0,07

Ответ: ξ = 4 патрона израсходовано с вероятностью 0,07.