Дано:
- Общее количество шаров: n = 9
- Количество белых шаров: m = 4
- Количество черных шаров: k = 5
- Количество извлеченных шаров: N = 3
Найти: случайная величина ξ – разность между числом белых и числом черных шаров в выборке.
Решение:
Вероятность извлечения белого шара:
P(Б) = m/n
Вероятность извлечения черного шара:
P(Ч) = k/n
Рассмотрим возможные значения случайной величины ξ:
ξ = 3: извлечены все белые шары
P(ξ = 3) = P(Б) * P(Б) * P(Б) = (4/9) * (3/8) * (2/7) = 24/504 = 1/21
ξ = 1: извлечен 1 белый и 2 черных шара (или 2 белых и 1 черный)
P(ξ = 1) = P(Б) * P(Ч) * P(Ч) + P(Ч) * P(Б) * P(Ч) = (4/9) * (5/8) * (4/7) + (5/9) * (4/8) * (4/7) = 16/126 + 80/252 = 8/63 + 20/63 = 28/63 = 4/9
ξ = -1: извлечен 1 черный и 2 белых шара
P(ξ = -1) = P(Ч) * P(Б) * P(Б) = (5/9) * (4/8) * (3/7) = 60/504 = 5/42
ξ = -3: извлечены все черные шары
P(ξ = -3) = P(Ч) * P(Ч) * P(Ч) = (5/9) * (4/8) * (3/7) = 60/504 = 5/42
Ответ: P(ξ = 3) = 1/21, P(ξ = 1) = 4/9, P(ξ = -1) = 5/42, P(ξ = -3) = 5/42