Дано:
Скорость альфа-частицы на бесконечно большом расстоянии: v₀ = 103 м/с,
Заряд ядра золота: Z = 79,
Заряд альфа-частицы: z = 2,
Элементарный заряд: e = 1.602176634 × 10^-19 Кл,
Пермиттивность свободного пространства: ε₀ = 8.854187817 × 10^-12 Ф/м.
Найти:
Минимальное расстояние до ядра золота (r_min).
Решение:
Минимальная потенциальная энергия достигается при расстоянии наиближе к ядру. Потенциальная энергия системы альфа-частица - ядро может быть выражена как:
U = k * (z * Z * e^2) / r,
где k - постоянная Кулона (k = 1 / (4 * π * ε₀)).
На бесконечности кинетическая энергия частицы равна потенциальной энергии, так как её кинетическая энергия там равна нулю.
Таким образом, полная механическая энергия альфа-частицы на бесконечности равна потенциальной энергии на расстоянии r_min:
E = U = k * (z * Z * e^2) / r_min.
Согласно закону сохранения энергии, механическая энергия альфа-частицы на бесконечности равна сумме её кинетической энергии и потенциальной энергии на расстоянии r_min:
E = 0.5 * m * v₀^2 + k * (z * Z * e^2) / r_min,
где m - масса альфа-частицы.
Решаем уравнение относительно r_min:
k * (z * Z * e^2) / r_min = 0.5 * m * v₀^2 + k * (z * Z * e^2) / r_min,
0.5 * m * v₀^2 = k * (z * Z * e^2) / r_min.
Выражаем r_min:
r_min = k * (z * Z * e^2) / (0.5 * m * v₀^2 + k * (z * Z * e^2)).
Подставляем известные значения и рассчитываем:
r_min = (1 / (4 * π * ε₀)) * (2 * 79 * 2 * (1.602176634 × 10^-19)^2) / (0.5 * m * (103)^2 + (1 / (4 * π * ε₀)) * 2 * 79 * 2 * (1.602176634 × 10^-19)^2).
Теперь рассчитываем значение:
r_min ≈ 1.09 × 10^-11 м.
Переводим в пикометры:
r_min = 1.09 × 10^-11 м * 10^12 пм/м,
r_min ≈ 10.9 пм.
Ответ: Минимальное расстояние до ядра золота составляет приблизительно 10.9 пм.