Дано (в СИ):
Масса шара, m = 2 кг
Радиус шара, R = 0.1 м
Высота наклонной плоскости, h = 1 м
Найти:
1. Энергию поступательного движения, E_пост.
2. Энергию вращательного движения, E_вращ.
3. Полную кинетическую энергию шара, E_кин.
Решение:
1. Потенциальная энергия шара в верхней точке:
E_пот = m * g * h,
где g - ускорение свободного падения, g = 9.8 м/с².
Подставим значения:
E_пот = 2 кг * 9.8 м/с² * 1 м = 19.6 Дж.
2. При скатывании без проскальзывания потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию, которая делится на поступательную и вращательную энергии.
3. В момент касания земли вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую:
E_пот = E_пост + E_вращ.
4. Кинетическая энергия поступательного движения:
E_пост = (1/2) * m * v^2.
5. Кинетическая энергия вращательного движения:
E_вращ = (1/2) * I * ω^2,
где I - момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр, для сплошного шара I = (2/5) * m * R^2,
ω - угловая скорость.
6. Для условия без проскальзывания:
v = ω * R,
следовательно,
ω = v / R.
7. Подставим I и ω в формулу для E_вращ:
E_вращ = (1/2) * (2/5) * m * R^2 * (v / R)^2,
E_вращ = (1/2) * (2/5) * m * v^2,
E_вращ = (1/5) * m * v^2.
8. Подставим выражения для E_пост и E_вращ в уравнение полной кинетической энергии:
E_пот = E_пост + E_вращ,
19.6 Дж = (1/2) * m * v^2 + (1/5) * m * v^2,
19.6 Дж = (1/2 + 1/5) * m * v^2,
19.6 Дж = (7/10) * m * v^2.
9. Найдем скорость v:
19.6 Дж = (7/10) * 2 кг * v^2,
19.6 Дж = 1.4 кг * v^2,
v^2 = 19.6 Дж / 1.4 кг,
v^2 = 14 м²/с²,
v = √14 м/с ≈ 3.74 м/с.
10. Теперь найдем E_пост:
E_пост = (1/2) * m * v^2,
E_пост = (1/2) * 2 кг * (3.74 м/с)^2,
E_пост ≈ 13.96 Дж.
11. И найдем E_вращ:
E_вращ = (1/5) * m * v^2,
E_вращ = (1/5) * 2 кг * (3.74 м/с)^2,
E_вращ ≈ 5.64 Дж.
Ответ:
Энергия поступательного движения: E_пост ≈ 13.96 Дж.
Энергия вращательного движения: E_вращ ≈ 5.64 Дж.
Полная кинетическая энергия: E_кин ≈ 19.6 Дж.