Дано:
- Сопротивление R = 2 Ом
- Параллельно этому сопротивлению подключается еще одно такое же сопротивление (то есть R' = 2 Ом).
Найти: внутреннее сопротивление r источника.
Решение:
1. Вычислим эквивалентное сопротивление R_eq двух сопротивлений, соединенных параллельно:
1/R_eq = 1/R + 1/R'
1/R_eq = 1/2 + 1/2
1/R_eq = 1
R_eq = 1 Ом
2. Обозначим напряжение источника как U и мощность P, выделяющуюся на внешнем сопротивлении R.
По формуле мощности:
P = U^2 / R
3. Теперь найдем мощность в новой цепи с эквивалентным сопротивлением:
При параллельном подключении мощность P' будет равна:
P' = U^2 / R_eq
P' = U^2 / 1 = U^2
4. По условию задачи известно, что мощность не изменяется, то есть P' = P.
Таким образом, можно записать следующее уравнение:
U^2 / R = U^2 / R_eq
5. Теперь выражаем внутреннее сопротивление r через закон Ома и закон Кирхгофа.
Напряжение источника можно выразить как:
U = I(R + r)
где I - ток в цепи.
Итак, мощность P можно также выразить как:
P = I^2 * R
6. Подставляем I из уравнения для P в выражение для U:
I = sqrt(P/R)
7. Подставим это значение I в уравнение для U:
U = sqrt(P/R) * (R + r)
8. Подставляя это значение U во второе уравнение и приравнивая его к P, получаем:
P = (sqrt(P/R) * (R + r))^2 / R_eq
9. После преобразований получится система уравнений, которая позволит найти внутреннее сопротивление r.
Применяем метод подстановки, чтобы получить зависимость между R, R_eq и r:
R_eq = R || (r + R_eq), где символ "||" обозначает параллельное соединение.
10. Преобразуем уравнение:
1/R_eq = 1/R + 1/(r + R_eq)
11. Подставляя известные значения R и R_eq = 1, решаем уравнение:
1 = 1/2 + 1/(r + 1)
12. Умножаем на 2(r + 1):
2(r + 1) = (r + 1) + 2
2r + 2 = r + 1 + 2
2r + 2 = r + 3
2r - r = 3 - 2
r = 1 Ом
Ответ:
Внутреннее сопротивление r составляет 1 Ом.