Дано:
- Высота h = 500 м
- Горизонтальное расстояние до орудия R = 1200 м
- Ускорение свободного падения g = 9.81 м/с²
Найти: угол θ, под которым нужно направить ствол орудия.
Решение:
1. Сначала найдем время падения ядра T с высоты h. Используем формулу для свободного падения:
h = (1/2) * g * T²,
где h = 500 м.
2. Перепишем уравнение:
T² = (2 * h) / g = (2 * 500) / 9.81 ≈ 101.83.
3. Найдем T:
T = sqrt(101.83) ≈ 10.09 с.
4. Теперь определим горизонтальную скорость v, с которой должно вылететь ядро из орудия. Поскольку ядро должно пролететь горизонтальное расстояние R за время T, то:
v = R / T = 1200 / 10.09 ≈ 119.05 м/с.
5. Теперь определим угол θ, под которым должно быть направлено ядро. Используем уравнение движения в вертикальном направлении:
y = v * sin(θ) * t - (1/2) * g * t²,
где y = 500 м (высота, которую должно достичь ядро).
6. Подставим известные значения:
500 = v * sin(θ) * T - (1/2) * g * T².
7. Подставим значения v и T:
500 = 119.05 * sin(θ) * 10.09 - (1/2) * 9.81 * (10.09)².
8. Упростим уравнение:
500 = 119.05 * sin(θ) * 10.09 - (1/2) * 9.81 * 101.83.
9. Вычислим второй член:
(1/2) * 9.81 * 101.83 ≈ 499.77,
10. Получим:
500 = 119.05 * sin(θ) * 10.09 - 499.77.
11. Преобразуем уравнение:
119.05 * sin(θ) * 10.09 = 500 + 499.77,
119.05 * sin(θ) * 10.09 = 999.77.
12. Найдем sin(θ):
sin(θ) = 999.77 / (119.05 * 10.09).
13. Вычислим значение:
sin(θ) = 999.77 / 1200.41 ≈ 0.832.
14. Теперь найдем угол θ:
θ = arcsin(0.832) ≈ 56.4°.
Ответ:
Угол, под которым нужно направить ствол орудия, составляет примерно 56.4°.