Дано:
m = 80 г = 0,08 кг (масса шарика)
A = 14 см = 0,14 м (амплитуда)
B = π/2 рад/с (угловая частота)
C = π/3 рад
Найти:
а) проекцию скорости в момент времени t1 = 1,0 с;
б) проекцию ускорения в момент времени t2 = 2,0 с;
в) проекцию импульса шарика в момент времени t3 = 3,0 с;
г) проекцию равнодействующей силы в момент времени t4 = 4,0 с.
Решение:
а) Проекция скорости v(t) определяется как производная от координаты y(t):
v(t) = dy/dt = A * B * cos(Bt + C)
Подставим t1 = 1,0 с:
v(1) = 0,14 м * (π/2) * cos((π/2) * 1 + π/3)
Сначала найдем аргумент косинуса:
(π/2) * 1 + π/3 = π/2 + π/3 = (3π + 2π) / 6 = 5π/6
Теперь найдем cos(5π/6):
cos(5π/6) = -√3/2
Теперь подставим это в формулу для скорости:
v(1) = 0,14 * (π/2) * (-√3/2) ≈ -0,061 * π м/с ≈ -0,192 м/с
Ответ:
Проекция скорости в момент времени t1 = 1,0 с: v(1) ≈ -0,192 м/с
б) Проекция ускорения a(t) определяется как производная от скорости v(t):
a(t) = dv/dt = -A * B^2 * sin(Bt + C)
Подставим t2 = 2,0 с:
a(2) = -0,14 * (π/2)^2 * sin((π/2) * 2 + π/3)
Сначала найдем аргумент синуса:
(π/2) * 2 + π/3 = π + π/3 = (3π + π) / 3 = 4π/3
Теперь найдем sin(4π/3):
sin(4π/3) = -√3/2
Теперь подставим это в формулу для ускорения:
a(2) = -0,14 * (π^2/4) * (-√3/2) ≈ 0,061 * (π^2/4) м/с² ≈ 0,048 м/с²
Ответ:
Проекция ускорения в момент времени t2 = 2,0 с: a(2) ≈ 0,048 м/с²
в) Импульс P определяется как произведение массы m на скорость v(t):
P(t) = m * v(t)
Подставим t3 = 3,0 с и значение v(3):
v(3) = 0,14 * (π/2) * cos((π/2) * 3 + π/3)
(π/2) * 3 + π/3 = (3π + π) / 3 = 4π/3
Теперь найдем cos(4π/3):
cos(4π/3) = -1/2
Теперь подставим:
v(3) = 0,14 * (π/2) * (-1/2) ≈ -0,035 * π м/с ≈ -0,109 м/с
Теперь найдем импульс:
P(3) = 0,08 кг * (-0,109 м/с) ≈ -0,00872 кг·м/с
Ответ:
Проекция импульса шарика в момент времени t3 = 3,0 с: P(3) ≈ -0,00872 кг·м/с
г) Равнодействующая сила F определяется как произведение массы m на ускорение a(t):
F(t) = m * a(t)
Подставим t4 = 4,0 с и значение a(4):
a(4) = -0,14 * (π/2)^2 * sin((π/2) * 4 + π/3)
(π/2) * 4 + π/3 = 2π + π/3 = (6π + π) / 3 = 7π/3
Теперь найдем sin(7π/3):
sin(7π/3)