Кубик массой m = 400 г совершает гармонические колебания вдоль оси Ох с периодом Т = 1,0 с и амплитудой хmax = 40 мм. В начальный момент времени координата кубика х0 = хmax. Координата положения равновесия кубика х = 0 м. Напишите: а) кинематический закон гармонических колебаний кубика; б)*уравнение зависимости проекции импульса кубика на ось Ox от времени; в)*уравнение зависимости проекции равнодействующей сил, действующих на кубик, на ось Ox от времени. Определите путь и проекцию перемещения кубика за промежуток времени Δt = 0,75 с, считая от начала отсчета времени.
от

1 Ответ

Дано:

m = 400 г = 0,4 кг (масса кубика)  
T = 1,0 с (период)  
x_max = 40 мм = 0,04 м (амплитуда)  
x_0 = x_max = 0,04 м (начальная координата)  

Найти:

а) кинематический закон гармонических колебаний кубика;  
б) уравнение зависимости проекции импульса кубика на ось Ox от времени;  
в) уравнение зависимости проекции равнодействующей силы, действующих на кубик, на ось Ox от времени;  
г) путь и проекцию перемещения кубика за промежуток времени Δt = 0,75 с.  

Решение:

1. Сначала найдем угловую частоту ω:

ω = 2 * π / T

Подставим значение T:

ω = 2 * π / 1,0 = 2π рад/с

2. Кинематический закон гармонических колебаний кубика будет иметь вид:

x(t) = x_max * cos(ωt)

С учетом начального условия x_0 = x_max, получаем:

x(t) = 0,04 * cos(2πt)

3. Проекция импульса P кубика на ось Ox определяется как произведение массы m на скорость v(t):

v(t) = -A * ω * sin(ωt)

Подставим значения:

v(t) = -0,04 * 2π * sin(2πt)

Теперь найдем уравнение импульса:

P(t) = m * v(t) = 0,4 * (-0,04 * 2π * sin(2πt)) = -0,032π * sin(2πt)

4. Проекция равнодействующей силы F на кубик:

F(t) = m * a(t)

Ускорение a(t) определяется как производная от скорости:

a(t) = dv/dt = -A * ω^2 * cos(ωt)

Подставим значения:

a(t) = -0,04 * (2π)^2 * cos(2πt) = -0,04 * 4π^2 * cos(2πt)

Теперь найдем равнодействующую силу:

F(t) = m * a(t) = 0,4 * (-0,04 * 4π^2 * cos(2πt)) = -0,064π^2 * cos(2πt)

5. Теперь определим путь и проекцию перемещения кубика за промежуток времени Δt = 0,75 с.

Сначала вычислим координаты в моменты времени t = 0 и t = 0,75 с:

x(0) = 0,04 * cos(2π * 0) = 0,04 м  
x(0,75) = 0,04 * cos(2π * 0,75) = 0,04 * cos(3π/2) = 0,04 * 0 = 0 м

Путь:

Путь = |x(0)| + |x(0,75)| = 0,04 + 0 = 0,04 м

Проекция перемещения:

Перемещение = x(0,75) - x(0) = 0 - 0,04 = -0,04 м

Ответ:  
а) Кинематический закон: x(t) = 0,04 * cos(2πt)  
б) Уравнение импульса: P(t) = -0,032π * sin(2πt)  
в) Уравнение равнодействующей силы: F(t) = -0,064π^2 * cos(2πt)  
г) Путь за 0,75 с: 0,04 м; проекция перемещения: -0,04 м.
от