Дано:
m = 400 г = 0,4 кг (масса кубика)
T = 1,0 с (период)
x_max = 40 мм = 0,04 м (амплитуда)
x_0 = x_max = 0,04 м (начальная координата)
Найти:
а) кинематический закон гармонических колебаний кубика;
б) уравнение зависимости проекции импульса кубика на ось Ox от времени;
в) уравнение зависимости проекции равнодействующей силы, действующих на кубик, на ось Ox от времени;
г) путь и проекцию перемещения кубика за промежуток времени Δt = 0,75 с.
Решение:
1. Сначала найдем угловую частоту ω:
ω = 2 * π / T
Подставим значение T:
ω = 2 * π / 1,0 = 2π рад/с
2. Кинематический закон гармонических колебаний кубика будет иметь вид:
x(t) = x_max * cos(ωt)
С учетом начального условия x_0 = x_max, получаем:
x(t) = 0,04 * cos(2πt)
3. Проекция импульса P кубика на ось Ox определяется как произведение массы m на скорость v(t):
v(t) = -A * ω * sin(ωt)
Подставим значения:
v(t) = -0,04 * 2π * sin(2πt)
Теперь найдем уравнение импульса:
P(t) = m * v(t) = 0,4 * (-0,04 * 2π * sin(2πt)) = -0,032π * sin(2πt)
4. Проекция равнодействующей силы F на кубик:
F(t) = m * a(t)
Ускорение a(t) определяется как производная от скорости:
a(t) = dv/dt = -A * ω^2 * cos(ωt)
Подставим значения:
a(t) = -0,04 * (2π)^2 * cos(2πt) = -0,04 * 4π^2 * cos(2πt)
Теперь найдем равнодействующую силу:
F(t) = m * a(t) = 0,4 * (-0,04 * 4π^2 * cos(2πt)) = -0,064π^2 * cos(2πt)
5. Теперь определим путь и проекцию перемещения кубика за промежуток времени Δt = 0,75 с.
Сначала вычислим координаты в моменты времени t = 0 и t = 0,75 с:
x(0) = 0,04 * cos(2π * 0) = 0,04 м
x(0,75) = 0,04 * cos(2π * 0,75) = 0,04 * cos(3π/2) = 0,04 * 0 = 0 м
Путь:
Путь = |x(0)| + |x(0,75)| = 0,04 + 0 = 0,04 м
Проекция перемещения:
Перемещение = x(0,75) - x(0) = 0 - 0,04 = -0,04 м
Ответ:
а) Кинематический закон: x(t) = 0,04 * cos(2πt)
б) Уравнение импульса: P(t) = -0,032π * sin(2πt)
в) Уравнение равнодействующей силы: F(t) = -0,064π^2 * cos(2πt)
г) Путь за 0,75 с: 0,04 м; проекция перемещения: -0,04 м.