Брусок совершает гармонические колебания вдоль оси Ох с частотой ν = 0,50 Гц и амплитудой хmax = 10 см. В начальный момент времени брусок двигался в направлении оси Ох, а его координата была х0 = 0 м. Напишите уравнение зависимости: а) координаты бруска от времени; б) проекции скорости на ось Ох колебаний бруска от времени; в) проекции ускорения на ось Ох колебаний бруска от времени. Определите путь и модуль перемещения бруска за полпериода колебаний, считая от начала отсчета времени.
от

1 Ответ

Дано:

ν = 0,50 Гц (частота)  
x_max = 10 см = 0,10 м (амплитуда)  
x_0 = 0 м (начальная координата)  

Найти:

а) уравнение зависимости координаты бруска от времени;  
б) уравнение проекции скорости на ось Ох;  
в) уравнение проекции ускорения на ось Ох;  
г) путь и модуль перемещения бруска за полпериода колебаний.  

Решение:

1. Частота ν связана с угловой частотой ω следующим образом:

ω = 2 * π * ν

Подставим значение ν:

ω = 2 * π * 0,50 = π рад/с

2. Уравнение координаты x(t) бруска будет иметь вид:

x(t) = x_max * sin(ωt)

С учетом начального условия x_0 = 0 м, получаем:

x(t) = 0,10 * sin(πt)

3. Проекция скорости v(t) на ось Ох определяется как производная от координаты x(t):

v(t) = dx/dt = A * ω * cos(ωt)

Подставим значения:

v(t) = 0,10 * π * cos(πt)

4. Проекция ускорения a(t) на ось Ох определяется как производная от скорости v(t):

a(t) = dv/dt = -A * ω^2 * sin(ωt)

Подставим значения:

a(t) = -0,10 * π^2 * sin(πt)

5. Теперь определим путь и модуль перемещения бруска за полпериода колебаний.

Полный период T вычисляется по формуле:

T = 1/ν = 1/0,50 = 2 с

Полпериод будет равен T/2 = 1 с.

Путь за полпериода:

За полпериод брусок проходит от x(0) = 0 до x(1) = 0,10 м.

Модуль перемещения также равен:

Перемещение = x(T/2) - x(0) = 0,10 - 0 = 0,10 м.

Ответ:
а) Уравнение координаты: x(t) = 0,10 * sin(πt)  
б) Уравнение скорости: v(t) = 0,10 * π * cos(πt)  
в) Уравнение ускорения: a(t) = -0,10 * π^2 * sin(πt)  
г) Путь за полпериод: 0,10 м; модуль перемещения: 0,10 м.
от