Дано:
Груз совершает гармонические колебания вдоль оси Ох. Расстояние между точками максимального отклонения груза от положения равновесия разделено на четыре равных отрезка.
Найти:
Отношение промежутка времени, за который груз проходит один из крайних отрезков, к промежутку времени, за который груз проходит один из средних отрезков.
Решение:
Обозначим амплитуду колебаний как A. Расстояние между крайними точками колебаний будет равно 2A (от -A до +A). Если расстояние делится на четыре равных отрезка, то длина каждого отрезка составляет:
l = (2A) / 4 = A / 2.
Теперь определим, сколько времени нужно грузу, чтобы пройти один из крайних отрезков (например, от +A до +A/2). Для этого используем уравнение для гармонических колебаний:
x(t) = A * sin(ωt).
Когда груз находится в положении +A, мы можем установить начальный момент времени t_1. Когда он достигает +A/2, мы можем установить момент времени t_2.
Обозначим разницу времен между этими состояниями как Δt_крайний.
Для нахождения промежутка времени, когда груз проходит один из крайних отрезков, нам необходимо рассмотреть время между положением +A и +A/2:
sin(ωt_1) = 1, следовательно, t_1 = T/4, где T — период колебаний.
sin(ωt_2) = (1/2), следовательно, ωt_2 = π/6, что дает t_2 = (π/6) / ω.
Теперь находим:
Δt_крайний = t_2 - t_1 = (π/6) / ω - T/4.
Теперь определим промежуток времени, за который груз проходит один из средних отрезков, например, от +A/2 до 0. Это требует найти время, необходимое для прохождения от A/2 до 0:
sin(ωt_3) = 0, следовательно, t_3 = T/2,
то есть,
Δt_средний = t_3 - t_2 = T/2 - (π/6) / ω.
Теперь найдем отношение временных промежутков:
отношение = Δt_крайний / Δt_средний.
При подстановке получаем:
отношение = [(π/6) / ω - T/4] / [T/2 - (π/6) / ω].
Однако, поскольку T = 2π/ω, можно выразить ω и найти численное значение. Упрощая это выражение и учитывая, что в гармонических колебаниях скорость увеличивается при приближении к положению равновесия и уменьшается на краях, мы можем сделать вывод:
Отношение промежутка времени, за который груз проходит один из крайних отрезков, к промежутку времени, за который груз проходит один из средних отрезков, равно 1:2.
Ответ: Отношение промежутка времени, за который груз проходит один из крайних отрезков, к промежутку времени, за который груз проходит один из средних отрезков, составляет 1:2.