Дано:
x1 = 4 см = 0.04 м (сдвиг от положения равновесия)
v1x = 6 см/с = 0.06 м/с (скорость при x1)
x2 = 3 см = 0.03 м (сдвиг от положения равновесия)
v2x = 8 см/с = 0.08 м/с (скорость при x2)
Найти:
Циклическую частоту ω, амплитуду колебаний A, модуль максимальной скорости колебаний v_max.
Решение:
1. Для гармонических колебаний применяем закон сохранения энергии, где полная механическая энергия E равна сумме потенциальной и кинетической энергии:
E = (1/2) * k * A^2 = (1/2) * m * v^2 + (1/2) * k * x^2,
где k - жесткость пружины, m - масса шарика.
2. Напишем уравнения для полной энергии в двух позициях:
E1 = (1/2) * m * v1x^2 + (1/2) * k * x1^2,
E2 = (1/2) * m * v2x^2 + (1/2) * k * x2^2.
Так как E1 = E2, можем приравнять:
(1/2) * m * v1x^2 + (1/2) * k * x1^2 = (1/2) * m * v2x^2 + (1/2) * k * x2^2.
Сократим на (1/2):
m * v1x^2 + k * x1^2 = m * v2x^2 + k * x2^2.
Перепишем это уравнение:
k * (x1^2 - x2^2) = m * (v2x^2 - v1x^2).
3. Подставим значения:
k * (0.04^2 - 0.03^2) = m * (0.08^2 - 0.06^2).
4. Вычислим:
k * (0.0016 - 0.0009) = m * (0.0064 - 0.0036),
k * 0.0007 = m * 0.0028.
Теперь выразим отношение k/m:
k/m = 0.0028 / 0.0007 = 4.
5. Теперь найдем циклическую частоту ω:
ω = sqrt(k/m) = sqrt(4) = 2 рад/с.
6. Чтобы найти амплитуду A, используем формулу для максимальной скорости:
v_max = A * ω.
Также нам нужно получить v_max из уравнений.
Для v1x и v2x мы можем использовать:
v1x = ω * sqrt(A^2 - x1^2),
v2x = ω * sqrt(A^2 - x2^2).
Подставим значение ω:
0.06 = 2 * sqrt(A^2 - 0.04^2),
0.06 = 2 * sqrt(A^2 - 0.0016).
Таким образом:
sqrt(A^2 - 0.0016) = 0.03,
A^2 - 0.0016 = 0.0009,
A^2 = 0.0025,
A = sqrt(0.0025) = 0.05 м = 5 см.
Аналогично для v2x:
0.08 = 2 * sqrt(A^2 - 0.03^2),
0.08 = 2 * sqrt(A^2 - 0.0009).
Тогда:
sqrt(A^2 - 0.0009) = 0.04,
A^2 - 0.0009 = 0.0016,
A^2 = 0.0025,
A = 0.05 м = 5 см.
Таким образом, все значения согласуются.
7. Теперь найдем модуль максимальной скорости:
v_max = A * ω = 0.05 * 2 = 0.10 м/с = 10 см/с.
Ответ:
ω = 2 рад/с;
A = 5 см;
v_max = 10 см/с.