Дано:
T = 6 с (период колебаний).
Найти:
Минимальный промежуток времени t, через который проекция скорости движения бруска будет равна половине проекции его максимальной скорости.
Решение:
1. Рассчитаем циклическую частоту ω:
ω = 2π / T = 2π / 6 ≈ 1,0472 рад/с.
2. Максимальная скорость v_max бруска в гармонических колебаниях выражается формулой:
v_max = A * ω,
где A — амплитуда колебаний (величина, которой мы не знаем, но она нам не понадобится для решения).
3. Проекция скорости на ось Ох описывается следующим уравнением:
v(t) = v_max * cos(ωt).
4. Нам нужно определить время t, когда проекция скорости равна половине максимальной скорости:
v(t) = v_max / 2.
Подставим это в уравнение скорости:
v_max * cos(ωt) = v_max / 2.
Сократим v_max (при условии, что v_max ≠ 0):
cos(ωt) = 1/2.
5. Решим уравнение:
cos(ωt) = 1/2 дает два решения в диапазоне [0, 2π]:
ωt = π/3
или
ωt = 5π/3.
Теперь найдем соответствующие значения t:
Для первого случая:
t_1 = (π/3) / ω = (π/3) / (1,0472) ≈ 1 с.
Для второго случая:
t_2 = (5π/3) / ω = (5π/3) / (1,0472) ≈ 5 с.
6. Минимальный промежуток времени равен первому решению:
t = t_1 = 1 с.
Ответ: Минимальный промежуток времени, через который проекция скорости движения бруска будет равна половине проекции его максимальной скорости, составляет 1 с.