Дано:
x_max = 4 см = 0.04 м (амплитуда колебаний)
x_0 = 2 см = 0.02 м (начальная координата)
T = 1.8 с (период колебаний)
Найти:
Минимальный промежуток времени, через который координата бруска вновь станет x = 2 см.
Решение:
1. Запишем уравнение гармонических колебаний:
x(t) = x_max * cos(ωt + φ),
где ω - угловая частота, а φ - фаза колебаний.
2. Угловая частота ω определяется как:
ω = 2π / T.
Подставим значение периода:
ω = 2π / 1.8 ≈ 3.49 рад/с.
3. Определим начальную фазу φ. Мы знаем, что в момент t = 0, x(0) = x_0 = 0.02 м, поэтому:
0.02 = 0.04 * cos(φ).
Следовательно,
cos(φ) = 0.02 / 0.04 = 0.5.
Это соответствует углу φ = π/3 рад (или 60°).
4. Теперь мы можем записать уравнение координаты бруска:
x(t) = 0.04 * cos(3.49t + π/3).
5. Нам нужно найти время, когда координата снова станет равной 0.02 м:
0.02 = 0.04 * cos(3.49t + π/3).
Сократим на 0.04:
cos(3.49t + π/3) = 0.5.
Это равенство выполняется при:
3.49t + π/3 = ±π/3 + 2kπ, где k – целое число.
Рассмотрим первичное решение (k = 0):
3.49t + π/3 = π/3,
3.49t = 0,
t = 0.
Теперь рассмотрим второе возможное значение при k = 0:
3.49t + π/3 = 5π/3.
3.49t = 5π/3 - π/3,
3.49t = 4π/3,
t = 4π/(3 * 3.49) ≈ 1.20 с.
Также, есть еще одно решение для k = 1:
3.49t + π/3 = 7π/3.
3.49t = 7π/3 - π/3,
3.49t = 6π/3,
t = 6π/(3 * 3.49) ≈ 1.70 с.
Таким образом, минимальный промежуток времени будет равен
t_min = 1.20 с.
Ответ:
t_min ≈ 1.20 с.