Дано:
k = 20 Н/м (жесткость пружины).
s = 48 мм = 0,048 м (путь от крайнего верхнего до крайнего нижнего положения).
Δt = 0,28 с (время для полного прохода пути s).
Найти:
а) число колебаний за промежуток времени Δt1 = 42 с.
б) объем груза.
в) модули максимальной скорости и максимального ускорения груза.
Решение:
1. Найдем полную амплитуду колебаний xmax. Поскольку груз проходит путь от верхней точки до нижней, амплитуда будет равна половине этого пути:
xmax = s / 2 = 0,048 м / 2 = 0,024 м.
2. Определим период T колебаний. Так как груз проходит полный путь s за время Δt, можем выразить его через период:
T = 2 * Δt = 2 * 0,28 с = 0,56 с.
3. Теперь найдем частоту f колебаний:
f = 1 / T = 1 / 0,56 ≈ 1,79 Гц.
4. Чтобы найти число колебаний N за время Δt1 = 42 с:
N = f * Δt1 = 1,79 Гц * 42 с ≈ 75,18.
Ответ для пункта а:
Число колебаний за промежуток времени Δt1 составляет примерно 75.
5. Для определения объема груза воспользуемся формулой для силы тяжести (F = m * g) и закона Гука (F = k * x). Находим массу груза m:
m = F / g, где g = 9,81 м/с² - ускорение свободного падения. Также из закона Гука:
F = k * xmax
Таким образом, F = 20 Н/м * 0,024 м = 0,48 Н.
Теперь подставим в формулу для массы:
m = 0,48 Н / 9,81 м/с² ≈ 0,0489 кг.
Теперь найдем объем V груза, используя плотность чугуна (ρ ≈ 7000 кг/м³):
V = m / ρ = 0,0489 кг / 7000 кг/м³ ≈ 6,99 * 10^-6 м³.
Ответ для пункта б:
Объем груза составляет примерно 6,99 * 10^-6 м³.
6. Теперь найдем модуль максимальной скорости vmax и максимального ускорения a_max:
Максимальная скорость vmax выражается как:
vmax = ω * xmax, где угловая частота ω = 2 * π * f.
Сначала найдем ω:
ω = 2 * π * 1,79 ≈ 11,24 рад/с.
Теперь найдем vmax:
vmax = 11,24 рад/с * 0,024 м ≈ 0,270 м/с.
Максимальное ускорение a_max определяется как:
a_max = ω² * xmax.
Подставим значения:
a_max = (11,24 рад/с)² * 0,024 м ≈ 2,85 м/с².
Ответ для пункта в:
Модуль максимальной скорости груза составляет примерно 0,270 м/с, а максимальное ускорение груза составляет примерно 2,85 м/с².