Дано:
xmax = 1,0 см = 0,01 м (амплитуда колебаний)
(Wк)max = 2,4 мДж = 2,4 * 10^(-3) Дж (максимальная кинетическая энергия)
Найти:
Площадь основания цилиндра S.
Решение:
1. Максимальная кинетическая энергия для гармонических колебаний определяется по формуле:
(Wк)max = (1/2) * m * ω² * xmax²,
где m - масса цилиндра, ω - циклическая частота колебаний.
2. Для определения массы цилиндра используем закон Архимеда: подъемная сила равна весу вытесненной жидкости.
Подъемная сила F_подъем = ρ * g * V,
где ρ - плотность воды (около 1000 кг/м³),
g - ускорение свободного падения (приблизительно 9,81 м/с²),
V - объем вытесненной воды.
3. Объем вытесненной воды можно выразить через площадь основания S и высоту погруженной части h:
V = S * h.
4. Тогда подъемная сила будет:
F_подъем = ρ * g * (S * h).
5. Массу цилиндра можем выразить как:
m = ρ * g * (S * h) / g = ρ * S * h.
6. Теперь подставим массу в формулу для максимальной кинетической энергии:
(Wк)max = (1/2) * (ρ * S * h) * ω² * xmax².
7. Из уравнения видно, что необходимо выразить ω через параметры. Мы знаем, что:
ω = sqrt(ρ * g * S / m).
8. Подставим выражение для m:
ω = sqrt(ρ * g * S / (ρ * S * h)) = sqrt(g / h).
9. Подставляем ω обратно в формулу для кинетической энергии:
(Wк)max = (1/2) * (ρ * S * h) * (g / h) * xmax².
10. Упрощаем это выражение:
(Wк)max = (1/2) * ρ * S * g * xmax².
11. Теперь выразим площадь S:
S = (2 * (Wк)max) / (ρ * g * xmax²).
12. Подставим известные данные:
ρ = 1000 кг/м³,
g = 9,81 м/с²,
(Wк)max = 2,4 * 10^(-3) Дж,
xmax = 0,01 м.
13. Подставляем в формулу:
S = (2 * 2,4 * 10^(-3)) / (1000 * 9,81 * (0,01)²).
14. Рассчитаем значение S:
S = (4,8 * 10^(-3)) / (1000 * 9,81 * 0,0001)
S = (4,8 * 10^(-3)) / (0,981)
S ≈ 0,00489 м².
Ответ:
Площадь основания цилиндра составляет примерно 0,00489 м².