Дано:
T = 2,4 с (период колебаний).
Найти:
а) минимальный промежуток времени, когда кинетическая энергия бруска будет равна потенциальной энергии пружины;
б) минимальный промежуток времени, когда кинетическая энергия бруска будет в 3 раза больше потенциальной энергии пружины.
Решение:
1. В гармонических колебаниях кинетическая энергия K и потенциальная энергия U периодически меняются. Кинетическая энергия определяется формулой:
K = (1/2) * m * v^2,
где m - масса бруска, v - скорость бруска.
Потенциальная энергия пружины определяется как:
U = (1/2) * k * x^2,
где k - жёсткость пружины, x - смещение от положения равновесия.
2. В момент времени t общее время колебания составляет T, и можно выразить фазы колебаний:
x(t) = A * cos(ωt),
v(t) = -A * ω * sin(ωt),
где A - амплитуда колебаний, ω = 2π/T - угловая частота.
3. Угловая частота ω:
ω = 2π / T = 2π / 2,4 ≈ 2,618 рад/с.
4. Теперь рассмотрим первую задачу:
Для случая, когда K = U, имеем:
(1/2) * m * v^2 = (1/2) * k * x^2.
Подставляем выражения для скорости и смещения:
(1/2) * m * (-A * ω * sin(ωt))^2 = (1/2) * k * (A * cos(ωt))^2.
Сокращаем (1/2):
m * A^2 * ω^2 * sin^2(ωt) = k * A^2 * cos^2(ωt).
5. Упрощаем уравнение:
m * ω^2 * sin^2(ωt) = k * cos^2(ωt).
6. Разделим обе части на cos^2(ωt):
m * ω^2 * tan^2(ωt) = k.
7. Это уравнение дает нам соотношение между tan^2(ωt) и параметрами системы. Поскольку k = m * ω^2 (по определению), мы можем найти t.
8. Следовательно,
tan^2(ωt) = 1,
tan(ωt) = 1,
ωt = π/4,
t = (π/4) / ω ≈ 0,3 с.
Теперь перейдем ко второй задаче:
9. Для случая, когда K = 3U, имеем:
(1/2) * m * v^2 = 3 * (1/2) * k * x^2.
То есть,
m * v^2 = 3k * x^2.
10. Подставляя выражения для v и x:
m * (-A * ω * sin(ωt))^2 = 3k * (A * cos(ωt))^2.
11. Упрощаем аналогично:
m * A^2 * ω^2 * sin^2(ωt) = 3k * A^2 * cos^2(ωt).
12. Сокращая A^2:
m * ω^2 * sin^2(ωt) = 3k * cos^2(ωt).
13. Разделяем обе части на cos^2(ωt):
m * ω^2 * tan^2(ωt) = 3k.
14. Получаем, что tan^2(ωt) = 3 (то есть):
tan(ωt) = √3,
ωt = π/3,
t = (π/3) / ω ≈ 0,4 с.
Ответ:
а) Минимальный промежуток времени, когда кинетическая энергия бруска будет равна потенциальной энергии пружины, составляет примерно 0,3 с.
б) Минимальный промежуток времени, когда кинетическая энергия бруска будет в 3 раза больше потенциальной энергии пружины, составляет примерно 0,4 с.