Дано:
- индуктивность катушки L = 10 мГн = 10 × 10^(-3) Гн
- емкость конденсатора C = 1,0 мкФ = 1,0 × 10^(-6) Ф
- напряжение на конденсаторе U = 30 В
- сила тока в некоторый момент времени I = 0,40 А
Найти: амплитуду силы тока I0 в контуре.
Решение:
1. Полная энергия W в колебательном контуре выражается через максимальное значение напряжения на конденсаторе:
W = (1/2) * C * U0².
2. Энергия в данный момент времени может быть разделена на энергию в электрическом поле конденсатора We и в магнитном поле катушки Wm:
W = We + Wm.
3. Энергия в электрическом поле конденсатора при данном мгновенном напряжении U равна:
We = (1/2) * C * U².
4. Подставим значения для U = 30 В:
We = (1/2) * (1,0 × 10^(-6)) * (30)²
= (1/2) * (1,0 × 10^(-6)) * 900
= 4,5 × 10^(-4) Дж.
5. Теперь найдем полную энергию W, которая сохраняется в течение свободных колебаний. Сначала найдем максимальную силу тока I0 с использованием соотношения:
Wm = (1/2) * L * I0².
6. Из уравнения W = We + Wm, подставляя Wm:
W = We + (1/2) * L * I0².
7. Подставим значение We:
W = 4,5 × 10^(-4) + (1/2) * (10 × 10^(-3)) * I0².
8. Поскольку полная энергия W также может быть выражена через максимальную силу тока:
W = (1/2) * L * I0²max.
9. Приравняем два выражения для W:
(1/2) * L * I0²max = 4,5 × 10^(-4) + (1/2) * (10 × 10^(-3)) * I0².
10. Теперь выразим I0. Предположим, что I0max = I0 + I (где I — текущая сила тока):
I0max = I0 + 0,40.
11. Упростим уравнение и решим его относительно I0max. После подстановки коэффициентов получим квадратное уравнение.
12. Результат после всех вычислений:
I0 = √((2W)/(L)) = √((2 * 4,5 × 10^(-4))/(10 × 10^(-3))) = √(0,09) = 0,3 А + 0,4 А = 0,70 А.
Ответ: амплитуда силы тока в контуре составляет 0,70 А.