Дано:
- емкость конденсатора C = 2,0 мкФ = 2,0 × 10^(-6) Ф
- индуктивность катушки L = 80,0 мГн = 80,0 × 10^(-3) Гн
Найти:
а) время t1, когда энергия электрического поля конденсатора станет равной энергии магнитного поля катушки;
б) время t2, когда энергия магнитного поля катушки станет в три раза больше энергии электрического поля конденсатора.
Решение:
1. Энергия электрического поля конденсатора Ue выражается формулой:
Ue = (1/2) * C * V^2,
где V — напряжение на конденсаторе. Сначала определим максимальную энергию Uemax, когда конденсатор полностью заряжен. Если предположить, что начальное напряжение Vmax = V (в момент подключения), тогда:
Uemax = (1/2) * C * V^2.
2. Энергия магнитного поля катушки Uм определяется как:
Uм = (1/2) * L * I^2,
где I — ток через катушку.
3. Для гармонического осциллятора, который образуется при соединении конденсатора с катушкой, выполняется следующее соотношение:
I(t) = Imax * sin(ωt),
где ω = 1/sqrt(LC).
Подставим значения:
ω = 1/sqrt((80,0 × 10^(-3)) * (2,0 × 10^(-6))) = 1/sqrt(160 × 10^(-9)) = 1/(4,0 × 10^(-5)) = 25000 рад/с.
4. Теперь мы можем найти t1, когда Ue = Uм:
(1/2) * C * V^2 = (1/2) * L * I^2,
C * V^2 = L * I^2.
Поскольку V и I связаны как V = L*(dI/dt), то подставляем:
t1 = (π/2) * sqrt(LC).
Подставим значения для нахождения t1:
t1 = (π/2) * sqrt((80,0 × 10^(-3)) * (2,0 × 10^(-6))) = (π/2) * sqrt(160 × 10^(-9)) = (π/2) * 4,0 × 10^(-5) ≈ 6,28 × 10^(-5) с.
5. Теперь найдем t2, когда Uм = 3 * Ue:
(1/2) * L * I^2 = 3 * (1/2) * C * V^2,
L * I^2 = 3 * C * V^2.
Заменяем V на I и получаем:
t2 = (arcsin(√(3/4)))/ω.
6. Из предыдущей формулы знаем, что ω = 25000 рад/с:
t2 = (arcsin(√(3/4))) / (25000).
7. Вычислим значение arcsin(√(3/4)):
arcsin(√(3/4)) ≈ 0,848 радиан.
8. Подставляем и вычисляем t2:
t2 ≈ 0,848 / 25000 ≈ 3,39 × 10^(-5) с.
Ответ:
а) минимальный промежуток времени t1 ≈ 6,28 × 10^(-5) с;
б) минимальный промежуток времени t2 ≈ 3,39 × 10^(-5) с.