Дано:
- ёмкость конденсатора C = 2 мкФ = 2 * 10^(-6) Ф
- индуктивность катушки L = 80 мГн = 80 * 10^(-3) Гн
Найти:
- время t, когда энергия электрического поля равна энергии магнитного поля.
Решение:
1. Энергия электрического поля Ue равна:
Ue = (1/2) * C * V^2,
где V - напряжение на конденсаторе.
2. Энергия магнитного поля Um равна:
Um = (1/2) * L * I^2,
где I - ток через катушку.
3. В колебательном контуре напряжение и ток связаны как:
V = V0 * cos(omega * t),
I = I0 * sin(omega * t),
где omega = 1 / sqrt(L * C) и V0, I0 - начальные значения.
4. Угловая частота omega:
omega = 1 / sqrt(80 * 10^(-3) * 2 * 10^(-6)).
omega = 1 / sqrt(160 * 10^(-9)).
omega = 1 / (4 * 10^(-5)).
omega = 25000 рад/с.
5. Подставляем V и I в формулы для энергии:
Ue = (1/2) * C * (V0 * cos(omega * t))^2,
Um = (1/2) * L * (I0 * sin(omega * t))^2.
6. Приравниваем Ue и Um:
(1/2) * C * (V0 * cos(omega * t))^2 = (1/2) * L * (I0 * sin(omega * t))^2.
7. Сокращаем (1/2) и подставляем V0 и I0:
C * V0^2 * cos^2(omega * t) = L * I0^2 * sin^2(omega * t).
8. Так как I0 = V0 / R (где R - сопротивление, можно взять за 1, тогда I0 = V0):
C * V0^2 * cos^2(omega * t) = L * (V0^2 / R^2) * sin^2(omega * t).
9. Подставим R = 1 для упрощения:
C * cos^2(omega * t) = L * sin^2(omega * t).
10. Заменим sin^2 на 1 - cos^2:
C * cos^2(omega * t) = L * (1 - cos^2(omega * t)).
11. Перепишем уравнение:
(C + L) * cos^2(omega * t) = L.
12. Решаем для cos^2(omega * t):
cos^2(omega * t) = L / (C + L).
13. Подставим значения:
cos^2(omega * t) = (80 * 10^(-3)) / (2 * 10^(-6) + 80 * 10^(-3)) = (80 * 10^(-3)) / (80.002 * 10^(-3)) ≈ 0.999975.
14. cos(omega * t) = sqrt(0.999975) ≈ 0.9999875.
15. omega * t = arccos(0.9999875).
omega * t ≈ 0.0000125 рад.
16. Найдем время t:
t = (0.0000125) / (25000) ≈ 5 * 10^(-7) с.
Ответ:
Время, через которое энергия электрического поля станет равной энергии магнитного поля, составляет примерно 0,0000005 секунды или 0,5 мкс.