дано:
абсолютный показатель преломления стекла n = 1,6.
найти:
преломляющий угол призмы ϕ.
решение:
1. Луч падает перпендикулярно на первую грань призмы, поэтому угол падения α = 0°.
2. После преломления луч попадает на вторую грань призмы. Обозначим угол падения на второй грани как β. По условию задачи угол выхода из призмы в два раза превышает угол падения на второй грани, то есть:
угол выхода γ = 2 * β.
3. По закону Снелла на первой грани при переходе из воздуха в призму имеем:
n1 * sin(α) = n * sin(β),
где n1 = 1 (показатель преломления воздуха).
Подставляем значение α:
1 * sin(0°) = n * sin(β),
0 = n * sin(β).
Здесь мы видим, что угол падения на второй грани β равен 0, что невозможно. Значит, следует пересмотреть уравнение, так как предполагается, что луч не пропускается.
4. Рассмотрим правильное направление для вычислений. Угол преломления на первой грани будет равен 90° - ϕ, соответственно по следующей формуле:
n * sin(90° - ϕ) = sin(β).
5. Подставляем известные значения:
sin(90° - ϕ) = cos(ϕ), тогда у нас получается:
1,6 * cos(ϕ) = sin(β).
6. На второй грани у нас также будет закон отражения, где угол падения β и угол выхода γ связаны:
γ = 2 * β.
7. Из уравнения (4):
1,6 * cos(ϕ) = sin(β),
и подставляем γ:
1,6 * cos(ϕ) = sin(γ / 2).
8. Используя формулу двойного угла, имеем:
sin(γ) = 2 * sin(γ / 2) * cos(γ / 2).
9. Теперь учитываем все наши переменные:
1,6 * cos(ϕ) = (1/2) * sin(2β).
10. Подставляя в уравнение получаем систему уравнений и решаем для ϕ, но давайте найдем конкретное значение для ϕ.
Используем упрощение:
1,6 * cos(ϕ) = (1/2) * sin(2 * arcsin(1.6 * cos(ϕ))).
Теперь нам нужно использовать тригонометрические функции и решить это уравнение для вычисления ϕ.
11. Применяем численные методы или графики, чтобы получить приблизительное значение.
Проверяя через константы, мы можем использовать:
cos(ϕ) = 0.5;
12. Таким образом, преломляющий угол призмы:
ϕ = arccos(1.6 / 2) = аркосинус.
ответ:
преломляющий угол призмы примерно 36,87°.