Дано:
- угол преломления при переходе из первой среды во вторую β1 = 45°;
- угол преломления при переходе из первой среды в третью β2 = 30°.
Найти: предельный угол полного отражения на границе третьей и второй среды.
Решение:
1. Обозначим показатели преломления сред:
- n1 – показатель преломления первой среды,
- n2 – показатель преломления второй среды,
- n3 – показатель преломления третьей среды.
2. По закону Снелли для первого перехода (первой среды во второй) имеем:
n1 * sin(α) = n2 * sin(β1),
где α – угол падения.
3. Для второго перехода (первой среды в третью) будет:
n1 * sin(α) = n3 * sin(β2).
4. Из этих двух уравнений можно выразить отношения показателей преломления:
n2 = n1 * sin(α) / sin(β1),
n3 = n1 * sin(α) / sin(β2).
5. Теперь найдем отношение n2/n3:
n2 / n3 = (sin(α) / sin(β1)) / (sin(α) / sin(β2)) = sin(β2) / sin(β1).
6. Подставляем известные значения углов:
n2 / n3 = sin(30°) / sin(45°) = 0,5 / (sqrt(2)/2) = 0,5 * (2/sqrt(2)) = 1/sqrt(2).
7. Следовательно, n2 = (1/sqrt(2)) * n3.
8. Условие полного внутреннего отражения выполняется, когда n3 > n2, что означает:
n3 / n2 = sqrt(2) > 1.
9. Теперь вычислим предельный угол полного отражения θ_крит на границе между второй и третьей средами:
θ_крит = arcsin(n2 / n3).
10. Подставляем значения:
θ_крит = arcsin(1/sqrt(2)) = 45°.
Ответ: предельный угол полного отражения света на границе третьей и второй среды составляет 45°.