Дано:
1. Переход атома водорода с шестого энергетического уровня (n1 = 6) на второй (n2 = 2) излучает фотон с частотой ν.
2. Необходимо найти номер энергетического уровня n', с которого должен перейти атом водорода на первый уровень (n = 1), чтобы частота излученного фотона была равна 4ν.
Найти: номер энергетического уровня n', с которого нужно перейти на первый уровень.
Решение:
1. Энергия фотона, испускаемого при переходе с n1 на n2, выражается как:
E = h * ν,
где h ≈ 6,626 × 10^-34 Дж·с (постоянная Планка).
2. Изменение энергии при переходе с одного уровня на другой можно вычислить по формуле:
ΔE = E_n2 - E_n1 = -k/n2^2 - (-k/n1^2),
где k = 13,6 эВ = 2,18 × 10^-18 Дж.
Таким образом, для нашего случая:
ΔE = -k/2^2 - (-k/6^2) = -k/4 + k/36.
3. Приведем к общему знаменателю:
ΔE = -9k/36 + k/36 = -8k/36 = -2k/9.
4. Теперь подставим значение k:
ΔE = -2(2,18 × 10^-18) / 9 = -4,36 × 10^-18 / 9 ≈ -4,84 × 10^-19 Дж.
5. Теперь найдем частоту ν:
ν = ΔE / h = (-4,84 × 10^-19) / (6,626 × 10^-34) ≈ 7,29 × 10^14 Гц.
6. Теперь нам нужно найти уровень n', с которого атом должен перейти на первый уровень (n = 1), чтобы частота фотона была равна 4ν.
То есть:
ν' = 4ν.
7. Энергия, соответствующая этому переходу, будет:
E' = h * ν' = h * 4ν = 4 * (-4,84 × 10^-19).
8. Посчитаем:
E' = 4 * (-4,84 × 10^-19) = -1,936 × 10^-18 Дж.
9. Теперь аналогично предыдущему шагу определим переход с n' на n = 1:
ΔE' = E_1 - E_n' = -k/1^2 - (-k/n'^2) = -k + k/n'^2 = k/n'^2 - k.
10. Упростим:
ΔE' = k(1/n'^2 - 1).
11. Приравняем ΔE' к E':
k(1/n'^2 - 1) = -1,936 × 10^-18.
12. Подставляем значение k:
(2,18 × 10^-18)(1/n'^2 - 1) = -1,936 × 10^-18.
13. Разделим обе стороны на 2,18 × 10^-18:
1/n'^2 - 1 = -1,936 / 2,18.
14. Найдем:
1/n'^2 = -0,8885 + 1 = 0,1115.
15. Теперь найдем n':
n'^2 = 1/0,1115 ≈ 8,95.
16. Находим n':
n' ≈ 3.
Ответ: Номер энергетического уровня, с которого должен перейти атом водорода на первый уровень, равен 3.