Дано: треугольник ABC, в котором высота, медиана и биссектрисa проведены из вершины A к основанию BC.
Найти: нужно доказать, что треугольник является равнобедренным, если в нем совпадают высота и медиана (часть а) или высота и биссектрисa (часть б).
Решение:
а) Доказательство того, что если высота и медиана совпадают, то треугольник равнобедренный:
1. Пусть AH - высота, проведённая из точки A на сторону BC, и одновременно медиана. Это значит, что H - середина отрезка BC.
2. Рассмотрим треугольники ABH и ACH. В этих треугольниках:
- AH общий для обоих треугольников,
- BH = HC (так как H - середина),
- угол AHB = угол AHC (по свойству высоты).
3. Следовательно, по критерию равенства треугольников (сторона-угол-сторона) треугольники ABH и ACH равны.
4. Из равенства следует, что AB = AC.
5. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.
б) Доказательство того, что если высота и биссектрисa совпадают, то треугольник равнобедренный:
1. Пусть AH - высота, проведённая из точки A на сторону BC, и одновременно биссектрисa. Это значит, что угол BAD = угол CAD.
2. Рассмотрим треугольники ABH и ACH. В этих треугольниках:
- угол AHB = угол AHC = 90 градусов (поскольку AH перпендикулярна BC),
- AH общий для обоих треугольников.
3. Так как угол BAD = угол CAD и угол AHB = угол AHC, угол A можно разбить на два равных угла.
4. По критерию равенства треугольников (сторона-угол-сторона) треугольники ABH и ACH равны.
5. Следовательно, из равенства получается AB = AC.
6. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.
Ответ: треугольник является равнобедренным, если в нём совпадают: а) высота и медиана; б) высота и биссектрисa.