Дано:
Выпуклый многоугольник с n сторонами.
Найти:
а) Количество диагоналей в многоугольнике.
б) Количество треугольников, вершины которых находятся в вершинах данного n-угольника.
Решение:
а) Для нахождения количества диагоналей в выпуклом многоугольнике с n сторонами, воспользуемся следующей формулой. Каждый из n вершин многоугольника соединяется с (n - 3) вершинами, так как он не соединяется с собой и с двумя соседними вершинами. Так как диагонали считаются для всех вершин, получаем общее количество диагоналей:
Количество диагоналей = n * (n - 3) / 2
Здесь делим на 2, потому что каждая диагональ считается дважды (по одной для каждого конца диагонали).
б) Для нахождения количества треугольников, вершины которых находятся в вершинах данного n-угольника, нужно выбрать 3 вершины из n. Это можно сделать с помощью комбинаций. Формула для количества треугольников (или комбинаций из n по 3):
Количество треугольников = C(n, 3) = n! / (3! * (n - 3)!)
Где C(n, 3) — число сочетаний из n элементов по 3. Упростим это выражение:
C(n, 3) = n * (n - 1) * (n - 2) / 6
Ответ:
а) Количество диагоналей в многоугольнике с n сторонами равно n * (n - 3) / 2.
б) Количество треугольников, вершины которых находятся в вершинах данного n-угольника, равно n * (n - 1) * (n - 2) / 6.