Дано:
Выпуклый многоугольник с n сторонами.
Найти:
а) Для какого выпуклого n-угольника все углы могут быть острыми.
б) Для какого выпуклого n-угольника все углы могут быть прямыми.
в) Для какого выпуклого n-угольника все углы могут быть тупыми.
Решение:
а) В выпуклом n-угольнике все углы могут быть острыми, если и только если n = 3. Это треугольник. В любом другом случае, например, в четырехугольнике и более сложных многоугольниках, всегда будет хотя бы один угол, который не может быть острым.
б) В выпуклом n-угольнике все углы могут быть прямыми только если n = 4. Это прямоугольник, где все углы прямые. Для n > 4 в многоугольнике будет всегда хотя бы один угол не прямым.
в) В выпуклом n-угольнике все углы могут быть тупыми, если и только если n = 4. Это вогнутый (не выпуклый) четырехугольник с тупыми углами называется невыпуклым. В выпуклом многоугольнике все углы не могут быть тупыми одновременно.
Ответ:
а) Все углы могут быть острыми только в треугольнике (n = 3).
б) Все углы могут быть прямыми только в квадрате (n = 4).
в) Все углы не могут быть тупыми в выпуклом многоугольнике.