Дано:
Две перпендикулярные между собой хорды окружности с длинами a и b.
Найти:
Радиус R этой окружности.
Решение:
1. Обозначим точку O как центр окружности, а точку P как место пересечения хорд. Хорды AP и BP имеют длины a и b соответственно.
2. По свойству хорд, расстояние от центра окружности до хорд можно выразить следующим образом:
Для хорды AP: r1 = sqrt(R² - (a/2)²)
Для хорды BP: r2 = sqrt(R² - (b/2)²)
3. Поскольку хорды перпендикулярны, можно записать:
r1² + r2² = OP², где OP — расстояние от центра окружности до точки P.
4. Известно, что OP = sqrt(r1² + r2²). Подставим значения r1 и r2:
OP = sqrt(R² - (a/2)²) + sqrt(R² - (b/2)²).
5. Теперь у нас есть два выражения для OP. Мы можем приравнять их:
R² - (a/2)² + R² - (b/2)² = OP².
6. Упростим это равенство:
2R² = (a/2)² + (b/2)² + OP².
7. Выразим радиус R из этого уравнения:
R² = ((a/2)² + (b/2)² + OP²) / 2.
8. Находим OP, как sqrt((a/2)² + (b/2)²), подставляем его в выражение находим R.
Ответ:
Радиус окружности R равен sqrt((a² + b²) / 4 + ((sqrt((a/2)² + (b/2)²))²) / 2).