Дано:
- В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD.
- AC = a
- BD = b
Найти:
- Радиус окружности R.
Решение:
1. Поскольку хорды AB и CD перпендикулярны и пересекаются в центре окружности, они делят окружность на четыре прямоугольных треугольника.
2. Пусть точка пересечения хорды AC и BD – это точка O. Хорды AB и CD пересекаются в точке O, и радиус окружности R равен длине отрезка от центра окружности до любой из точек на окружности, лежащих на пересечении этих хорд.
3. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами хорды AC и BD, можно использовать теорему Пифагора. Рассмотрим треугольники OAC и OBD, которые имеют общую гипотенузу – радиус окружности.
4. Поскольку хорды перпендикулярны, то половины хорды AC и BD делят окружность на два прямоугольных треугольника. Длина половин хорд равна a/2 и b/2.
5. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике:
(a/2)^2 + (b/2)^2 = R^2
6. Упростим:
a^2/4 + b^2/4 = R^2
(a^2 + b^2)/4 = R^2
R^2 = (a^2 + b^2)/4
7. Таким образом, радиус окружности R равен:
R = sqrt((a^2 + b^2)/4)
Ответ:
R = sqrt((a^2 + b^2)/4)