дано:
1. Длина отрезка BC = 6.
2. Длина отрезка AD = 8.
найти:
Сумму площадей непересекающихся сегментов круга, отсечённых этими отрезками.
решение:
1. Обозначим O — центр окружности. Так как хорды AB и CD перпендикулярны, точка пересечения их диагоналей будет центром окружности.
2. Длину отрезка AB можно найти как:
AB = AD + BC = 8 + 6 = 14.
3. Для нахождения радиуса окружности используем теорему Пифагора. Обозначим r — радиус окружности. Известно, что расстояние от центра до середины каждой хорды можно найти по формуле:
r² = (AB/2)² + (AD/2)².
4. Половины отрезков:
AD/2 = 4, BC/2 = 3.
5. Подставим значения в формулу:
r² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
Следовательно, r = 5.
6. Площадь сегмента, отсечённого хордой AB:
Площадь сегмента = Площадь сектора - Площадь треугольника.
7. Угол, соответствующий сегменту AB, можно найти через обратную функцию косинуса:
cos(θ) = (AD/2) / r = 4/5.
Угол θ = arccos(4/5).
8. Площадь сектора:
S_сектора = (θ / 2π) * πr² = (θ / 2) * r² = (θ / 2) * 25.
9. Площадь треугольника:
S_треугольника = (1/2) * AB * AD/2 = (1/2) * 14 * 4 = 28.
10. Таким образом, площадь сегмента AB:
S_сегмента_AB = S_сектора - S_треугольника.
11. Аналогично находим для сегмента CD, используя отрезки BC и AD:
Площадь сегмента CD также будет равна площади сегмента AB.
12. Сумма площадей сегментов:
S_общая = S_сегмента_AB + S_сегмента_CD = 2 * S_сегмента_AB.
ответ:
Сумма площадей непересекающихся сегментов круга равна 28.