Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Высота CH проведена из вершины C на гипотенузу AB.
Найти:
Доказать утверждения:
а) квадрат высоты CH равен произведению проекций катетов на гипотенузу;
б) квадрат каждого катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Решение:
Для начала обозначим:
- длину катета AC как a,
- длину катета BC как b,
- длину гипотенузы AB как c,
- проекцию катета AC на гипотенузу AB как p,
- проекцию катета BC на гипотенузу AB как q.
1. Учитывая свойства прямоугольного треугольника, можно записать:
p = (a^2) / c и q = (b^2) / c
где p и q — это проекции катетов на гипотенузу.
а) Доказательство, что квадрат высоты CH равен произведению проекций катетов на гипотенузу:
1. Рассмотрим прямоугольные треугольники AHC и BHC.
2. В каждом из треугольников применим теорему Пифагора:
- AH^2 + CH^2 = AC^2
- BH^2 + CH^2 = BC^2
3. Из свойств подобных треугольников следует, что проектированные отрезки на гипотенузу равны:
- AH = p и BH = q.
4. Таким образом, имеем:
- CH^2 = a^2 * q / c и CH^2 = b^2 * p / c.
5. Умножим p и q:
- CH^2 = (p * q).
б) Доказательство, что квадрат каждого катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:
1. Для катета AC:
a^2 = c * p, где p - проекция катета AC на гипотенузу.
2. Для катета BC:
b^2 = c * q, где q - проекция катета BC на гипотенузу.
Ответ:
а) Квадрат высоты CH в прямоугольном треугольнике равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
б) Квадрат каждого катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.