Дано:
Окружность с центром O и два взаимно перпендикулярных диаметра: один горизонтальный (AB) и один вертикальный (CD). Точка X движется по окружности.
Найти:
Проекции радиуса OX на каждый из диаметров AB и CD.
Решение:
1. Установим систему координат, где центр O находится в начале координат (0,0). Диаметр AB будет проходить вдоль оси X, а диаметр CD — вдоль оси Y.
2. Поскольку точка X движется по окружности радиуса R, ее координаты можно задать как:
X = R * cos(t),
Y = R * sin(t),
где t — угол, который образует радиус OX с положительным направлением оси X.
3. Проекция радиуса OX на диаметр AB (оси X):
Проекцию на ось X можно выразить как:
P_AB = R * cos(t).
4. Проекция радиуса OX на диаметр CD (оси Y):
Проекцию на ось Y можно выразить как:
P_CD = R * sin(t).
5. Обратите внимание, что значения P_AB и P_CD зависят от угла t, при этом:
- Когда t равен 0 (точка X находится на правой стороне окружности), P_AB = R и P_CD = 0.
- Когда t равен pi/2 (точка X находится сверху), P_AB = 0 и P_CD = R.
- Когда t равен pi (точка X находится слева), P_AB = -R и P_CD = 0.
- Когда t равен 3pi/2 (точка X находится снизу), P_AB = 0 и P_CD = -R.
Вывод:
Проекции радиуса OX на диаметры AB и CD колеблются между значениями R и -R в зависимости от положения точки X на окружности. Эти проекции меняются по синусоидальному закону: одна проекция достигает максимума, когда другая минимальна, что иллюстрирует взаимосвязь между проекциями радиуса на перпендикулярные оси. Таким образом, сумма квадратов проекций всегда равна радиусу окружности в квадрате:
P_AB^2 + P_CD^2 = R^2.
Ответ:
Проекции радиуса OX на диаметры AB и CD изменяются от R до -R и всегда удовлетворяют уравнению P_AB^2 + P_CD^2 = R^2.