а) Найти площадь поверхности правильного тетраэдра, если известно его ребро.
Дано:
Ребро правильного тетраэдра обозначим как a.
Найти:
Площадь поверхности S.
Решение:
1. Правильный тетраэдр состоит из 4 равносторонних треугольников.
2. Площадь одного равностороннего треугольника можно найти по формуле:
S_triangle = (sqrt(3) / 4) * a^2.
3. Площадь всей поверхности тетраэдра будет равна:
S = 4 * S_triangle = 4 * (sqrt(3) / 4) * a^2 = sqrt(3) * a^2.
Ответ:
Площадь поверхности правильного тетраэдра S = sqrt(3) * a^2.
б) Найти площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, если известны её рёбра.
Дано:
Ребро основания правильной треугольной пирамиды обозначим как a, а высоту от вершины до основания обозначим как h.
Найти:
Площадь поверхности S.
Решение:
1. Основание пирамиды — равносторонний треугольник, площадь которого:
S_base = (sqrt(3) / 4) * a^2.
2. Площадь боковых граней. Каждая грань — равнобедренный треугольник с основанием a и высотой, которую найдем через p (половина стороны основания):
h_side = sqrt(h^2 + (a/2)^2).
3. Площадь одной боковой грани:
S_side = (1/2) * a * h_side.
4. Учитывая, что у пирамиды три боковые грани:
S_bases = 3 * S_side = 3 * (1/2) * a * h_side = (3/2) * a * h_side.
5. Общая площадь поверхности:
S = S_base + S_bases = (sqrt(3) / 4) * a^2 + (3/2) * a * h_side.
Ответ:
Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды S = (sqrt(3) / 4) * a^2 + (3/2) * a * h_side.
в) Найти площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, если известны её рёбра.
Дано:
Ребро основания правильной четырёхугольной пирамиды обозначим как a, а высоту от вершины до основания обозначим как h.
Найти:
Площадь поверхности S.
Решение:
1. Основание пирамиды — квадрат, площадь которого:
S_base = a^2.
2. Боковые грани — 4 треугольника, где основание каждого треугольника равно a, а высота определяется через p (половина стороны основания):
h_side = sqrt(h^2 + (a/2)^2).
3. Площадь одной боковой грани:
S_side = (1/2) * a * h_side.
4. Общая площадь боковых граней:
S_bases = 4 * S_side = 4 * (1/2) * a * h_side = 2 * a * h_side.
5. Общая площадь поверхности:
S = S_base + S_bases = a^2 + 2 * a * h_side.
Ответ:
Площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды S = a^2 + 2 * a * h_side.