Дано:
- Треугольники с общим основанием АВ и равными медианами, проведёнными к этой стороне.
Найти:
- Какой из таких треугольников имеет наибольшую площадь.
Решение:
1. Обозначим медиану, проведённую из вершины С треугольника к основанию АВ, как CD. Поскольку медианы равны, все треугольники будут иметь одинаковые медианы, проведённые к АВ.
2. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту. В нашем случае высота треугольника определяется медианой, проведённой к основанию.
3. Медиана CD разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, каждый из которых имеет высоту равную половине медианы CD. Площадь треугольника определяется как 1/2 * основание * высота.
4. Поскольку основание АВ одинаково для всех треугольников, то для определения наибольшей площади треугольника достаточно рассмотреть, какая высота будет наибольшей.
5. В треугольнике с фиксированными медианами наибольшая высота будет достигнута, когда треугольник будет равносторонним или изогнутым так, чтобы высота, проведённая из вершины к основанию, была максимальной.
Ответ:
Из треугольников с равными медианами и одинаковым основанием АВ наибольшую площадь будет иметь тот треугольник, у которого высота, проведённая из вершины к основанию, максимальна. Это будет треугольник, у которого высота равна максимальной возможной при данных условиях.