Дано:
- Несколько равновеликих треугольников с общим основанием АВ.
Найти:
- а) Где лежат вершины этих треугольников, противолежащие стороне АВ.
- б) Где лежат вершины X равновеликих треугольников АВХ, если рассматривать эти треугольники в пространстве.
Решение:
а) Вершины треугольников, противолежащие стороне АВ, лежат на одной и той же прямой, параллельной стороне АВ. Это следует из того, что все треугольники имеют одинаковую площадь и одно и то же основание, поэтому высоты из вершин треугольников до стороны АВ также одинаковы. Следовательно, все вершины находятся на параллельной прямой, расстояние от которой до стороны АВ равно высоте треугольника.
б) Если рассматривать треугольники в пространстве, то равновеликие треугольники АВХ могут располагаться на разных плоскостях, но вершина X для всех таких треугольников будет лежать на одной и той же гиперповерхности. Это гиперповерхность определена тем, что треугольники имеют одинаковую площадь и основание АВ. В пространстве эта гиперповерхность является уровнем для функций, которые зависят от высоты треугольника и расстояния от АВ.
Ответ:
а) Вершины треугольников, противолежащие стороне АВ, лежат на параллельной прямой, расположенной на фиксированном расстоянии от АВ.
б) Вершины X равновеликих треугольников АВХ лежат на гиперповерхности, определенной условиями равенства площади и длины стороны АВ.