Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB и CD - основания, причем AB > CD, а боковые стороны AD и BC равны.
а) Доказательство, что углы, прилежащие к основанию равнобедренной трапеции, равны*
1. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, а AD = BC.
2. Проведем перпендикуляры из точек A и B на прямую CD. Пусть точки падения этих перпендикуляров на CD будут E и F соответственно. В этом случае треугольники ADE и BCF будут прямоугольными.
3. Так как AD = BC, то отрезки AE и BF равны по теореме Пифагора. Углы ADE и BCF равны 90 градусов, так как они прямые.
4. Треугольники ADE и BCF подобны по двум углам (угол EAD и угол FCB равны, а угол ADE и угол BCF оба прямые), следовательно, угол A и угол B равны (так как они являются соответствующими углами в подобных треугольниках).
Таким образом, углы, прилежащие к одному основанию равнобедренной трапеции, равны.
б) Доказательство, что диагонали равнобедренной трапеции равны
1. В равнобедренной трапеции ABCD проведем диагонали AC и BD. Эти диагонали пересекаются в точке O.
2. Треугольники AOD и BOC равны по следующим причинам:
- AD = BC (по определению равнобедренной трапеции)
- AO = BO (по теореме о равенстве диагоналей)
- ∠AOD = ∠BOC (так как внутренние углы при одной и той же стороне равны)
3. Таким образом, треугольники AOD и BOC равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Следовательно, диагонали AC и BD равны.
в) Доказательство, что равнобедренная трапеция имеет ось симметрии, которая проходит через середины её оснований
1. Проведем линию, соединяющую середины оснований AB и CD. Обозначим середины этих оснований как M и N, соответственно.
2. Докажем, что эта линия является осью симметрии.
- Из треугольников AMN и BMC можно доказать, что MN = BC и MN = AD (так как MN - средняя линия в трапеции).
- Эти треугольники равны по гипотенузе и углу между ними (по доказанному ранее равенству диагоналей и равенству сторон).
Таким образом, ось симметрии трапеции проходит через середины её оснований.
Ответ
а) Углы, прилежащие к одному основанию равнобедренной трапеции, равны.
б) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
в) Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии, проходящую через середины её оснований.