Дано: Трапеция ABCD, в которой углы, прилежащие к основанию, равны. Обозначим углы: ∠A и ∠B как углы, прилежащие к большему основанию AB, и ∠C и ∠D как углы, прилежащие к меньшему основанию CD.
Найти: Доказать, что трапеция ABCD является равнобедренной.
Решение:
1. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, и углы ∠A = ∠D и ∠B = ∠C.
2. Поскольку ∠A и ∠D равны, то сумма углов ∠A и ∠D равна 180° (т.к. они являются внутренними углами, прилежащими к основанию трапеции). Это выражается следующим образом:
∠A + ∠D = 180°
Аналогично, поскольку ∠B и ∠C равны, их сумма также равна 180°:
∠B + ∠C = 180°
3. Поскольку сумма углов ∠A и ∠D равна 180°, а сумма углов ∠B и ∠C также равна 180°, мы можем записать:
∠A + ∠D = ∠B + ∠C
4. В трапеции, в которой сумма углов при каждом основании равна 180°, стороны, прилежащие к основаниям, будут равны, если углы, прилежащие к основаниям, равны. Обозначим боковые стороны трапеции как AD и BC.
5. Построим диагонали AC и BD. Поскольку углы, прилежащие к большему основанию AB, равны (то есть ∠A = ∠D), это также означает, что треугольники ABD и CDB подобны.
6. Треугольники ABD и CDB равны по двум углам и стороне (так как ∠A = ∠D и ∠B = ∠C). Таким образом, стороны AD и BC равны.
7. Следовательно, трапеция ABCD является равнобедренной, так как боковые стороны равны (AD = BC).
Ответ: Трапеция ABCD является равнобедренной.