а) Основания равны 2 и 1
Дано:
- Основные основания трапеции: a = 2 м, b = 1 м
- Острый угол трапеции = 60°
Найти:
- Площадь трапеции
Решение:
1. Высоту трапеции можно найти, используя свойства равнобедренной трапеции и треугольников. В равнобедренной трапеции высота h можно выразить через боковую сторону c и угол 60°. В треугольнике, образованном высотой и основанием, высота будет равна боковой стороне умноженной на синус угла:
h = c * sin(60°)
2. Для нахождения боковой стороны c используем закон косинусов в треугольнике с основанием (разность между основаниями) и высотой:
(c^2 = h^2 + ( (a - b) / 2 )^2)
Заменим h:
h = c * sin(60°) = c * √3 / 2
Подставляем в формулу:
c^2 = (c * √3 / 2)^2 + ( (a - b) / 2 )^2
c^2 = (3 / 4) * c^2 + ( (2 - 1) / 2 )^2
c^2 = (3 / 4) * c^2 + (1 / 4)
c^2 - (3 / 4) * c^2 = 1 / 4
(1 / 4) * c^2 = 1 / 4
c^2 = 1
c = 1 м
3. Площадь трапеции можно найти по формуле:
Площадь = ((a + b) / 2) * h
Подставляем значения:
h = c * √3 / 2 = 1 * √3 / 2 = √3 / 2
Площадь = ((2 + 1) / 2) * (√3 / 2) = 3 / 2 * √3 / 2 = 3√3 / 4
Ответ: Площадь трапеции равна 3√3 / 4 квадратных метров.
б) Основания равны 4 и 10
Дано:
- Основные основания трапеции: a = 4 м, b = 10 м
- Острый угол трапеции = 60°
Найти:
- Площадь трапеции
Решение:
1. Высоту h можно найти аналогично предыдущему расчету:
h = c * sin(60°) = c * √3 / 2
2. Используем закон косинусов для определения боковой стороны c:
(c^2 = h^2 + ( (a - b) / 2 )^2)
h = c * √3 / 2
Подставляем в формулу:
c^2 = (c * √3 / 2)^2 + ( (10 - 4) / 2 )^2
c^2 = (3 / 4) * c^2 + 6^2
c^2 = (3 / 4) * c^2 + 9
(1 / 4) * c^2 = 9
c^2 = 36
c = 6 м
3. Площадь трапеции:
Площадь = ((a + b) / 2) * h
h = c * √3 / 2 = 6 * √3 / 2 = 3√3
Площадь = ((4 + 10) / 2) * 3√3 = 14 * 3√3 / 2 = 21√3
Ответ: Площадь трапеции равна 21√3 квадратных метров.
в) Основания равны a и b
Дано:
- Основные основания трапеции: a, b
- Острый угол трапеции = 60°
Найти:
- Площадь трапеции
Решение:
1. Высоту h можно найти:
h = c * sin(60°) = c * √3 / 2
2. Используем закон косинусов для определения боковой стороны c:
(c^2 = h^2 + ( (a - b) / 2 )^2)
h = c * √3 / 2
Подставляем в формулу:
c^2 = (c * √3 / 2)^2 + ( (a - b) / 2 )^2
c^2 = (3 / 4) * c^2 + ( (a - b) / 2 )^2
c^2 - (3 / 4) * c^2 = ( (a - b) / 2 )^2
(1 / 4) * c^2 = ( (a - b) / 2 )^2
c^2 = (a - b)^2 / 1
3. Площадь трапеции:
Площадь = ((a + b) / 2) * h
h = c * √3 / 2
Площадь = ((a + b) / 2) * (c * √3 / 2)
Ответ: Площадь трапеции равна ((a + b) / 2) * c * √3 / 2 квадратных единиц.