Дано:
Треугольник ABC, медиана AO, которая соединяет вершину A с серединой основания BC. Отрезок OР равен длине медианы AO.
Найти:
Докажите, что четырёхугольник ABРC является параллелограммом.
Решение:
1. Обозначим точку D как середину отрезка BC. Согласно свойству медианы, AO = AD.
2. Поскольку O - это центр отрезка BC, то BO = OC = 1/2 * BC.
3. Так как OР = AO, то OР также будет равно AD, что делает точки A и P симметричными относительно точки O.
4. По определению, вектор AP равен вектору AO, а вектор BR равен вектору BO (где R - это проекция точки P на прямую BC).
5. Поскольку AO и OP равны и направлены в одном направлении, то отсюда следует, что PR параллельна AB, а AB равен PR.
6. Так как обе пары противоположных сторон (AB и PR, AR и BP) равны и параллельны, по признаку определения параллелограмма, четырехугольник ABРC является параллелограммом.
Ответ:
Четырёхугольник ABРC является параллелограммом, так как его противоположные стороны AB и PR, а также AR и BP равны и параллельны.