В   треугольнике  АВС   продолжили   медиану   ВМ   за   точку   М   на   отрезок МD,  равный  медиане  ВМ.  Точку  D  соединили  с  точками  А  и  С.  До-кажите,  что  четырёхугольник  АВСD — параллелограмм
от

1 Ответ

дано:  
Треугольник ABC, медиана BM, продолженная за точку M на отрезок MD, равный медиане BM. Точка D соединена с точками A и C.

найти:  
Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

решение:  
1. Обозначим длину медианы BM как m. По условию имеем MD = m, следовательно, BD = BM + MD = m + m = 2m.

2. Поскольку M — середина стороны AC, то по определению медиа́ны:
   AM = MC.

3. Векторное представление:
   - Пусть векторы AB, AM и AC соответственно обозначают a, b и c.
   - Тогда:
     BM = (AC + AB) / 2 = (c + a) / 2.

4. Точка D находится на прямой, проходящей через M и продолжающейся на расстояние равное BM. Таким образом, вектор BD будет равен:
   BD = 2 * BM = 2 * (AC + AB) / 2 = AC + AB = c + a.

5. Теперь рассмотрим вектора AD и BC:
   - Вектор AD = AC + AM,
   - Вектор BC = AB + AC.

6. Поскольку M — середина AC, то:
   AC = 2 * AM.

7. Следовательно:
   - AD = AC + AM = 2 * AM + AM = 3 * AM,
   - BC = AB + AC = a + 2 * AM.

8. По свойству параллелограмма, если две пары противоположных сторон равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

9. Мы видим, что:
   AD || BC и AD = BC.

ответ:  
Четырехугольник ABCD является параллелограммом.
от