дано:
Треугольник ABC, медиана BM, продолженная за точку M на отрезок MD, равный медиане BM. Точка D соединена с точками A и C.
найти:
Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.
решение:
1. Обозначим длину медианы BM как m. По условию имеем MD = m, следовательно, BD = BM + MD = m + m = 2m.
2. Поскольку M — середина стороны AC, то по определению медиа́ны:
AM = MC.
3. Векторное представление:
- Пусть векторы AB, AM и AC соответственно обозначают a, b и c.
- Тогда:
BM = (AC + AB) / 2 = (c + a) / 2.
4. Точка D находится на прямой, проходящей через M и продолжающейся на расстояние равное BM. Таким образом, вектор BD будет равен:
BD = 2 * BM = 2 * (AC + AB) / 2 = AC + AB = c + a.
5. Теперь рассмотрим вектора AD и BC:
- Вектор AD = AC + AM,
- Вектор BC = AB + AC.
6. Поскольку M — середина AC, то:
AC = 2 * AM.
7. Следовательно:
- AD = AC + AM = 2 * AM + AM = 3 * AM,
- BC = AB + AC = a + 2 * AM.
8. По свойству параллелограмма, если две пары противоположных сторон равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
9. Мы видим, что:
AD || BC и AD = BC.
ответ:
Четырехугольник ABCD является параллелограммом.