М   и   N — середины   сторон   треугольника АВС (рис. 20).  Отрезок  MN  продолжили  на  отрезок  ND, равный MN.  Точки  С  и  D  соединили.  Докажите,  что:  а) CD = АМ;    б)  MD//AC
от

1 Ответ

дано:  
Треугольник ABC. Точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок MN продолжили на отрезок ND, равный MN. Точки C и D соединены.

найти:  
а) Докажите, что CD = AM.  
б) Докажите, что MD // AC.

решение:  
а) Для доказательства равенства отрезков CD и AM используем теорему о средней линии треугольника.

1. Точка M — середина стороны AB, а точка N — середина стороны BC. Отрезок MN является средней линией треугольника ABC, и, по теореме о средней линии, он параллелен стороне AC и равен половине её длины:
   MN = 1/2 * AC.

2. Отрезок ND равен отрезку MN, следовательно, длина отрезка ND также равна 1/2 * AC.

3. Теперь рассмотрим треугольник CND. В нем отрезок CD соединяет вершину C с точкой D. Отрезок D является продолжением отрезка MN, который по теореме о средней линии равен половине длины стороны AC.

4. Поскольку длина отрезка CD равна длине отрезка AM (поскольку они оба равны 1/2 * AC), можем заключить, что CD = AM.

б) Для доказательства параллельности отрезков MD и AC:

1. Треугольник ABC с точками M и N, являющимися серединами сторон AB и BC, образует среднюю линию MN, которая параллельна стороне AC и равна половине её длины.

2. Отрезок ND равен отрезку MN, а следовательно, также параллелен стороне AC.

3. Поскольку отрезки MD и AC параллельны (отрезок MD является продолжением отрезка MN, который параллелен AC), можем заключить, что MD // AC.

ответ:  
а) CD = AM.  
б) MD // AC.
от