Дано:
1. Площадь треугольника AMD = 3 см².
2. Отношение отрезков BM и MD на медиане BD: BM : MD = 3 : 1.
Найти:
Площадь треугольника ABC.
Решение:
1. Так как точка M делит медиану BD в отношении 3 : 1, это означает, что отрезок BM составляет 3/4 от всей длины BD, а отрезок MD составляет 1/4 от длины BD.
2. Площадь треугольника BMD будет составлять 1/4 от площади треугольника ABD, поскольку высоты от точки A на основание BD остаются одинаковыми.
3. Обозначим площадь треугольника ABD как S_AB. Тогда:
Площадь BMD = (1/4) * S_AB.
4. Площадь треугольника AMD составляет 3 см², поэтому:
S_AB = S_AMD + S_BMD = S_AMD + (1/4) * S_AB.
5. Подставим известные значения:
S_AB = 3 + (1/4) * S_AB.
6. Переносим (1/4) * S_AB в левую часть:
S_AB - (1/4) * S_AB = 3.
(3/4) * S_AB = 3.
7. Найдем S_AB:
S_AB = 3 * (4/3) = 4 см².
8. Площадь треугольника ABC равна удвоенной площади треугольника ABD, так как медиана делит треугольник на две равные площади:
S_ABC = 2 * S_AB = 2 * 4 = 8 см².
Ответ:
Площадь треугольника ABC равна 8 см².