дано:
Гипотенуза AB = 1 м. В треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, стороны AC и BC равны.
найти:
а) Площадь S прямоугольника CLKM, если точка K находится в середине гипотенузы.
б) Зависимость S от x, если KA = x.
в) Границы для S(x).
решение:
а) Находим площадь S, когда K находится в середине гипотенузы:
1. Поскольку ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник, стороны AC и BC равны.
2. По теореме Пифагора: AC² + BC² = AB², где AC = BC, тогда 2*AC² = 1², следовательно AC = BC = 1/√2.
3. К координатам вершин: A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1).
4. Координаты точки K, находящейся в середине гипотенузы AB: K(0.5, 0).
5. Длина перпендикуляра KL (высота) от K до CA (линия y = -x + 1):
Расстояние от точки K(0.5, 0) до линии y = -x + 1 можно найти по формуле:
d = |Ax + By + C| / √(A² + B²),
где A = 1, B = 1 и C = -1.
Подставим значения:
d = |1*0.5 + 1*0 - 1| / √(1² + 1²) = |0.5 - 1| / √2 = 0.5 / √2 = 0.5√2 / 2 = √2 / 4.
6. Аналогично, длина перпендикуляра KM (высота) от K до CB (линия y = x):
d = |1*0.5 - 0.5| / √(1² + (-1)²) = |0.5 - 0.5| / √2 = 0.
7. Таким образом, площадь S = KL * KM = (√2 / 4) * 0 = 0.
б) Найдем зависимость S от x, где KA = x:
1. Теперь пусть KA = x, тогда KB = 1 - x.
2. Длина стороны AC = BC = √(1² - x²).
3. Перпендикуляры KL и KM от точки K(x, 0) будут аналогичны предыдущему примеру, но с учетом новой высоты:
KL = |(-1)(x) + 1| / √2 = |1 - x| / √2,
KM = |x| / √2.
4. Площадь S будет равна:
S = KL * KM = [(1 - x) / √2] * [x / √2] = (1 - x)x / 2.
в) Определим границы для S(x):
1. При x = 0 S = (1 - 0) * 0 / 2 = 0.
2. При x = 1 S = (1 - 1) * 1 / 2 = 0.
3. Максимальное значение площади S(x) достигается на интервале (0, 1).
4. Для нахождения максимума функции S(x) = (1 - x)x, найдем производную и приравняем к нулю:
S'(x) = 1 - 2x = 0, отсюда 2x = 1, значит x = 0.5.
5. Тогда S(0.5) = (1 - 0.5) * 0.5 / 2 = 0.5 * 0.5 / 2 = 0.125.
ответ:
а) Площадь S равна 0 м², когда K находится в середине гипотенузы.
б) Зависимость S от x: S(x) = (1 - x)x / 2.
в) S(x) находится в пределах [0, 0.125].