Дано:
- Треугольник ABC прямоугольный (где AB — гипотенуза).
- Медиана CM = 12 см.
- Расстояние от середины катета AC до гипотенузы AB = 3 см.
Найти:
Площадь треугольника ABC.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы. То есть, для медианы CM, если она соединяет вершину прямого угла (C) с серединой гипотенузы (M), то длина медианы CM равна половине длины гипотенузы AB:
CM = 12 см, следовательно, гипотенуза AB = 2 * 12 = 24 см.
2. Пусть катеты треугольника ABC имеют длины AC = x и BC = y. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем:
AB² = AC² + BC²,
24² = x² + y²,
576 = x² + y². (1)
3. Расстояние от середины катета AC до гипотенузы AB равно 3 см. Это расстояние можно выразить через высоту, проведенную из середины катета AC к гипотенузе. Из теории медиан для прямоугольного треугольника известно, что расстояние от середины катета до гипотенузы равно половине длины катета. То есть:
x / 2 = 3,
x = 6 см.
4. Подставляем значение x в уравнение (1):
576 = 6² + y²,
576 = 36 + y²,
y² = 576 - 36 = 540,
y = √540 ≈ 23.24 см.
5. Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABC, используем формулу для площади прямоугольного треугольника:
S = (1/2) * AC * BC,
S = (1/2) * 6 * 23.24 ≈ 69.72 см².
Ответ:
Площадь треугольника ABC примерно равна 69.7 см².