а) Дано: Площадь прямоугольника S = 1 м² и периметр P = 2 м. Найти: Возможны ли такие значения для прямоугольника?
Решение: Обозначим длины сторон прямоугольника как a и b. Для прямоугольника справедливы следующие формулы:
- Площадь S = a * b.
- Периметр P = 2(a + b).
Подставляем известные значения:
1 = a * b
2 = 2(a + b)
Разделим уравнение периметра на 2:
1 = a + b
Теперь у нас есть система уравнений:
a * b = 1
a + b = 1
Выразим b из второго уравнения: b = 1 - a. Подставим это в первое уравнение:
a * (1 - a) = 1
a - a² = 1
a² - a + 1 = 0
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = (-1)² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, прямоугольник с заданными параметрами не существует.
Ответ: Прямоугольник с площадью 1 и периметром 2 не существует.
б) Дано: Площадь прямоугольника S = 1 м² и диагональ D = 1 м. Найти: Возможны ли такие значения для прямоугольника?
Решение: Обозначим длины сторон прямоугольника как a и b. Для прямоугольника справедливы следующие формулы:
- Площадь S = a * b.
- Диагональ D = √(a² + b²).
По условию:
1 = a * b
1 = √(a² + b²)
Квадрат диагонали:
1 = a² + b²
Теперь у нас есть система уравнений:
a * b = 1
a² + b² = 1
Воспользуемся равенством (a + b)² = a² + b² + 2ab:
(a + b)² = 1 + 2 * 1 = 3
a + b = √3
Из уравнения a * b = 1, можем выразить b как b = 1 / a и подставить в уравнение диагонали:
a² + (1 / a)² = 1
a⁴ - a² + 1 = 0
Решение этого уравнения также требует применения дискриминанта, который показывает, что уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, прямоугольник с заданными параметрами не существует.
Ответ: Прямоугольник с площадью 1 и диагональю 1 не существует.
в) Дано: Периметр прямоугольника P = 2 м и диагональ D = 1 м. Найти: Возможны ли такие значения для прямоугольника?
Решение: Обозначим длины сторон прямоугольника как a и b. Для прямоугольника справедливы следующие формулы:
- Периметр P = 2(a + b).
- Диагональ D = √(a² + b²).
По условию:
2 = 2(a + b)
1 = √(a² + b²)
Разделим уравнение периметра на 2:
1 = a + b
Теперь у нас есть система уравнений:
a + b = 1
a² + b² = 1
Воспользуемся равенством (a + b)² = a² + b² + 2ab:
1 = 1 + 2ab
0 = 2ab
ab = 0
Так как произведение a и b равно нулю, это означает, что одна из сторон равна нулю, что невозможно для прямоугольника с положительными длинами сторон.
Ответ: Прямоугольник с периметром 2 и диагональю 1 не существует.