дано:
а) Диагональ прямоугольника D = 1 м.
б) Периметр прямоугольника P = 2 м.
найти:
Наибольшую площадь прямоугольника для каждого случая.
решение:
а) Наибольшая площадь прямоугольника с диагональю 1:
1. Обозначим стороны прямоугольника как a и b.
2. Используем теорему Пифагора: a² + b² = D², где D = 1.
3. Следовательно, a² + b² = 1.
4. Площадь S прямоугольника выражается как S = a * b.
5. Заменим b через a: b = √(1 - a²).
6. Теперь выразим площадь через a: S(a) = a * √(1 - a²).
7. Чтобы найти максимальное значение S(a), находим производную и приравниваем к нулю:
dS/da = √(1 - a²) - (a² / √(1 - a²)) = 0.
8. Умножив обе части уравнения на √(1 - a²), получаем:
√(1 - a²) - a² = 0.
9. Из этого уравнения следует: 1 - 2a² = 0, откуда a² = 1/2, значит a = √(1/2) = 1/√2.
10. Соответственно, b также будет равен 1/√2.
11. Теперь подставим значения для получения площади:
S = a * b = (1/√2) * (1/√2) = 1/2.
б) Наибольшая площадь прямоугольника с периметром 2:
1. Периметр P = 2 = 2(a + b), отсюда a + b = 1.
2. Выразим b через a: b = 1 - a.
3. Площадь S = a * b = a * (1 - a) = a - a².
4. Для нахождения максимума найдем производную и приравняем к нулю:
dS/da = 1 - 2a = 0.
5. Отсюда 2a = 1, следовательно a = 1/2.
6. Тогда b = 1 - 1/2 = 1/2.
7. Таким образом, S = (1/2) * (1/2) = 1/4.
ответ:
а) Наибольшая площадь прямоугольника с диагональю 1 составляет 1/2 м².
б) Наибольшая площадь прямоугольника с периметром 2 составляет 1/4 м².