Дано:
Периметр прямоугольника P = 12 см.
Найти: размеры прямоугольника, у которого наибольшая площадь.
Решение:
1. Запишем формулу для периметра прямоугольника.
Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина — b. Формула для периметра:
P = 2a + 2b.
Из условия задачи:
2a + 2b = 12.
Сократим на 2:
a + b = 6.
2. Запишем формулу для площади прямоугольника.
Площадь прямоугольника S равна:
S = a * b.
3. Выразим b через a.
Из уравнения a + b = 6:
b = 6 - a.
4. Подставим b в формулу для площади.
S = a * (6 - a) = 6a - a^2.
5. Находим максимум площади.
Это квадратичная функция S = -a^2 + 6a, которая имеет максимум, так как коэффициент при a^2 отрицательный. Максимум достигается в вершине параболы, координаты которой находятся по формуле:
a = -b / (2a), где b = 6 и a = -1 (коэффициенты функции).
a = -6 / (2 * -1) = 3.
6. Найдём b, подставив a в выражение для b.
b = 6 - a = 6 - 3 = 3.
Таким образом, размеры прямоугольника:
a = 3 см, b = 3 см.
7. Проверим площадь.
S = a * b = 3 * 3 = 9 см².
Ответ: размеры прямоугольника с наибольшей площадью: 3 см на 3 см.