Question

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, периметр основания которых 18 см, а одна из сторон основания в 2 раза меньше высоты параллелепипеда. Обозначив длину одной из сторон основания параллелепипеда а, выразите объем параллелепипеда как функцию от а. Найдите размеры того параллелепипеда, у которого наибольший объем.

Answer 1

дано:
- периметр основания прямоугольного параллелепипеда P = 18 см.
- одна из сторон основания a в 2 раза меньше высоты h: a = (1/2) * h.

найти:
- объем параллелепипеда как функцию от a.
- размеры параллелепипеда с наибольшим объемом.

решение:

1. Обозначим вторую сторону основания как b. Из условия периметра основания имеем:
   P = 2(a + b) = 18.
   Отсюда:
   a + b = 9.

2. Подставим выражение для h в виде a:
   h = 2a.

3. Теперь выразим b через a:
   b = 9 - a.

4. Объем V параллелепипеда можно выразить как:
   V = a * b * h.
   Подставим значения:
   V = a * (9 - a) * (2a).
   Упростим:
   V = 2a * (9 - a) * a = 18a - 2a².

5. Теперь найдем максимальное значение объема V. Для этого найдем производную V по a и приравняем ее к нулю:
   dV/da = 18 - 4a.
   Приравняем к нулю:
   0 = 18 - 4a.
   Отсюда:
   4a = 18,
   a = 4.5 см.

6. Найдем соответствующее значение h и b:
   h = 2a = 2 * 4.5 = 9 см.
   b = 9 - a = 9 - 4.5 = 4.5 см.

ответ:
- размеры параллелепипеда: a = 4.5 см, b = 4.5 см, h = 9 см.
- объем параллелепипеда = 4.5 * 4.5 * 9 = 181.5 см³.