дано:
- периметр основания прямоугольного параллелепипеда P = 24 см.
- высота h = (1/2) * a, где a — одна из сторон основания.
найти:
- объем параллелепипеда как функцию от h.
- размеры параллелепипеда с наибольшим объемом.
решение:
1. Обозначим стороны основания параллелепипеда как a и b. Из условия периметра основания имеем:
P = 2(a + b) = 24.
Отсюда:
a + b = 12.
2. Из выражения для высоты h имеем:
h = (1/2) * a.
Тогда a = 2h.
3. Подставим a в уравнение для периметра:
2h + b = 12.
Отсюда:
b = 12 - 2h.
4. Объем V параллелепипеда можно выразить как:
V = a * b * h.
Подставим значения a и b:
V = (2h) * (12 - 2h) * h.
Упростим:
V = 2h * (12h - 2h²) = 24h² - 4h³.
5. Теперь найдем максимальное значение объема V. Для этого найдем производную V по h и приравняем ее к нулю:
dV/dh = 48h - 12h².
Приравняем к нулю:
0 = 48h - 12h².
Разделим на 12:
0 = 4h - h².
Перепишем:
h² - 4h = 0.
Факторизуем:
h(h - 4) = 0.
Таким образом, h = 0 или h = 4. Поскольку h не может быть равным 0, берем h = 4 см.
6. Найдем соответствующие a и b:
a = 2h = 2 * 4 = 8 см.
b = 12 - 2h = 12 - 8 = 4 см.
ответ:
- размеры параллелепипеда: a = 8 см, b = 4 см, h = 4 см.
- объем параллелепипеда = 8 * 4 * 4 = 128 см³.