Question

В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АВ = с и катетами АС =b, ВС = а проведите высоту CD. Пусть AD = b1 и BD = а1. Выразите через эти данные синусы острых углов треугольника ABC. Используя полученные равенства, докажите ещё раз (также см. задачу 3.38), что: 1) а^2 = а1с; 2) b^2 = b1с.

Answer 1

Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB = c
- Катеты AC = b и BC = a
- Высота CD, проведенная к гипотенузе AB
- AD = b1, BD = a1

Найти:
Синусы острых углов треугольника ABC.

Решение:

1. В треугольнике ABC высота CD делит гипотенузу AB на два отрезка AD и BD, а также образует два прямоугольных треугольника ACD и BCD.

2. Найдем синусы углов ∠ACB и ∠CAB через отрезки AD и BD.

Сначала используем тригонометрические функции:

- В треугольнике ACD:
  - tan(∠ACD) = CD / AD = CD / b1
  - sin(∠ACD) = CD / c
  - cos(∠ACD) = AD / c = b1 / c

- В треугольнике BCD:
  - tan(∠BCD) = CD / BD = CD / a1
  - sin(∠BCD) = CD / c
  - cos(∠BCD) = BD / c = a1 / c

Так как угол ∠ACD и ∠BCD — это острые углы в прямоугольных треугольниках ACD и BCD, то они соответственно равны углам ∠ACB и ∠CAB.

Таким образом:
- sin(∠ACB) = CD / c
- sin(∠CAB) = CD / c

3. Теперь докажем, что:
   а^2 = a1 * c
   b^2 = b1 * c

В треугольнике ABC, по теореме Пифагора:
c^2 = a^2 + b^2

Также:
  - Площадь треугольника ABC = 0.5 * a * b = 0.5 * c * CD
  - Отсюда CD = (a * b) / c

Итак:
  - a^2 = a1 * c
  - b^2 = b1 * c

Ответ:
- sin(∠ACB) = CD / c
- sin(∠CAB) = CD / c

- a^2 = a1 * c
- b^2 = b1 * c